Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 11. клас — Задача 11-1.2. Радиоактивные шары

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Оригинальный ключ сохранён буквально: в задаче 1.1 напечатаны показатель 3,42 и затем степень 4,32; вопрос 1.2.3 в ключе обозначен 1.2.1. В формулах магнитной задачи и в таблице, графике и итоговом значении силы сопротивления имеются внутренние расхождения; исходные знаки, индексы, числа и нумерация не исправлены. Четыре целых задачи соответствуют отдельно названным задачам 1.1/1.2 и двум связанным заданиям 11-2/11-3.

Инструкции

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Указания жюри

Республиканская физическая олимпиада. 2022 год (III этап). Теоретический тур. Решения задач. 11 класс (для жюри). Вариант 1.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из двух задач, связанных одной математической идеей: если некоторая величина $Y$ зависит от величины $x$ по степенному закону

Y(x) = Y_0 + a x^{\gamma},

то скорость изменения этой величины описывается формулой, справедливой при любом показателе степени $\gamma$ и малых значениях $\Delta x$

\frac{\Delta Y}{\Delta x} = a\gamma x^{\gamma - 1}.

Задача 1.2. Радиоактивные шары.

Два однородных шара изготовлены из одного радиоактивного материала. Благодаря радиоактивному распаду внутри материала постоянно выделяется теплота (мощность выделения этой теплоты постоянна). Шары находятся в вакууме, поэтому потери теплоты в окружающую среду осуществляются только посредством излучения. Радиус первого шара равен $R_1$ , температура его поверхности равна $T_{S1} = 400\mathrm{K}$ , а температура в его центре - $T_{C1} = 500\mathrm{K}$ . Радиус второго шара равен $R_2 = 2R_1$ .

Шар, от поверхности которого во все стороны расходятся восемь волнистых стрелок (тепловое излучение).

1.2.3 Рассчитайте температуры на поверхности $T_{S2}$ и в центре $T_{C2}$ второго шара.

Подсказки:

Согласно закону Стефана – Больцмана мощность теплового излучения с единицы площади пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:

p = \sigma T^4. \qquad (1)

Закон теплопроводности Фурье утверждает, что плотность потока теплоты (количество теплоты, перетекающей в единицу времени через площадку единичной площади) пропорционален градиенту температуры (изменению температуры на единицу длины):

q = -\kappa \frac{\Delta T}{\Delta x}. \qquad (2)

Серая область под горизонтальной осью $x$; в ней надпись $T(x)$ и маленькая площадка, через которую проходит волнистая стрелка, обозначенная $q$.

Решение

Задача 1.2. Радиоактивные шары.

1.2.1

Количество теплоты, которое выделяется во всем шаре, пропорционально объему шара. В стационарном режиме энергия, выделившаяся в шаре, равна энергии излученной поверхностью шара:

\frac43\pi R^3w=4\pi R^2\sigma T_S^4.\qquad (1)

Здесь $w$ - мощность теплоты, выделяющейся в единице объема. Из этого соотношения следует, что

\frac{T_{S2}^4}{T_{S1}^4}=\frac{R_2}{R_1}\quad\Rightarrow\quad T_{S2}=T_{S1}\sqrt[4]{\frac{R_2}{R_1}}=400\mathrm{K}\sqrt[4]{2}\approx476\mathrm{K}.\qquad (2)

Рассмотрим теперь распределение температур внутри шара, т.е. зависимость температуры от расстояния до центра шара $T(r)$ . Для этого рассмотрим сферическую поверхность некоторого радиуса $r<R$ концентрическую с шаром. Поток теплоты через эту поверхность равен количеству теплоты, выделившейся внутри этой поверхности:

-4\pi r^2\kappa\frac{\Delta T}{\Delta r}=\frac43\pi r^3w.\qquad (3)

Из этого уравнения следует, что

\frac{\Delta T}{\Delta r}=-C_0r,\qquad (4)

где $C_0$ - некоторая постоянная величина. Используя математическую подсказку, зависимость температуры от расстояния до центра имеет вид:

T(r)=T_C-Cr^2.\qquad (5)

Величина $T_C$ имеет смысл температуры в центре шара. Если положить $r=R$ , то эта формула даст значение температуры на поверхности шара. Поэтому можно записать

T_C-T_S=CR^2.\qquad (6)

Постоянная $C$ неизвестна, но ее можно исключить, составив пропорцию:

\frac{T_{C2}-T_{S2}}{T_{C1}-T_{S1}}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\quad\Rightarrow\quad(T_{C2}-T_{S2})=4(T_{C1}-T_{S1})=400\mathrm{K}.\qquad (7)

Окончательно находим, что температура в центре второго шара равна

T_{C2}=T_{S2}+400\mathrm{K}=876\mathrm{K}.\qquad (8)

Оригинал в Архива: G_2022_11_1_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_11_1_resheniya.pdf