Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 9. клас — Задача 9-3. Форма полости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 9 класс. Вариант 2.

Внимание: Бележка към темата

Комплект относится к III этапу, 9 классу и варианту 2. На титульном листе указаны три задания; «Разминка» прямо состоит из трёх разных задач, объединённых одной математической идеей. Эти задачи представлены отдельно, а связанные части «Неупругого удара» и «Формы полости» сохранены целиком. Полученный оригинальный ключ содержит полные решения, две таблицы и указания жюри. Напечатанные противоречия формул, обозначений и чисел сохранены и отмечены при соответствующих решениях. Численные баллы, отдельная схема оценивания и бланки ответов в полученном комплекте отсутствуют.

Титульный лист

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика»
2021-2022 учебный год

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. Бланк для жюри. 9 класс. Вариант 2.

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. Решения задач. 9 класс (для жюри). Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Для определения размеров внутренней полости сосуда можно использовать электрические измерения. Два тонких проводящих параллельных проводящих стержня опускают вертикально в сосуд с жидкостью и измеряют электрическое сопротивление между ними. В процессе всех измерений расстояние между стержнями остается неизменным, используется одна и та же жидкость. Стержни располагаются вблизи середины сосудов.

Часть 1. Цилиндрические сосуды.

Цилиндрический сосуд с жидкостью, в который опущены два вертикальных стержня; стержни подключены к источнику U0 и амперметру A; обозначены внутренний диаметр D и высота уровня жидкости h.

Стержни опускают в вертикальный цилиндрический сосуд до его дна, в который медленно добавляют жидкость. К стержням подключают источник постоянного напряжения $U_0 = 4{,}5\,B$ и последовательно подключенный амперметр.

Проведены измерения зависимости силы электрического тока $I$ (в Амперах) от объема налитой жидкости $V$ (в миллилитрах – см $^3$ ). Результаты измерений для трех разных сосудов показаны на Графике 1.

Оказалось, что полученные все полученные зависимости оказались линейными и описываются простой формулой

График: по горизонтали объем налитой жидкости (мл) от 0 до 600, по вертикали сила тока (А) от 0 до 5; три прямые через точки от 50 до 500 мл — зелёные кружки (до 4,7 А), синие ромбы (до 2,1 А) и жёлтые треугольники (до 1,2 А). — График 1. Зависимости силы тока от объема (цилиндрические сосуды)

I = kV \qquad (1)

Коэффициент $k$ зависит от диаметра сосуда. Численные значения этого коэффициента для разных значений внутреннего диаметра $D$ (в см) сосуда приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

$D$ , см	$k \cdot 10^{3},\ A \cdot \text{см}^{-3}$
4,0	9,4
6,0	4,2
8,0	2,4

1.1 Найдите теоретическую зависимость электрического сопротивления $R$ между стержнями от высоты уровня жидкости в сосуде $h$ - $R(h)$ . Эта функция должна содержать только переменную $h$ и численные параметры (или один параметр). Укажите физический смысл этих параметров (параметра) функции $R(h)$ .

1.2 Используя данные Таблицы 1, рассчитайте численные значения параметров (параметра) зависимости $R(h)$ для всех значений диаметров сосудов.

1.3 Укажите, подтверждается или нет полученная Вами в п.1.1 теоретическая формула.

Часть 2. Конический сосуд.

Стержни опускают до дна в сосуд, внутренняя полость которого имеет вид усеченного конуса. Заметим, что форма полости может иметь вид либо (а), либо (б), как показано на рисунке – далее Вам будет необходимо определить, в каком сосуде проведены измерения. Затем с помощью той же электрической схемы проводят измерения зависимости электрического силы тока $I$ между стержнями от объема $V$ налитой в сосуд жидкости. Результаты измерений этой зависимости приведены в Таблице 2 и на Графике 2.

Два сосуда в виде усеченного конуса: (а) расширяющийся кверху, (б) сужающийся кверху; у каждого обозначены радиус дна r0 и угол θ боковой стенки с вертикалью.

Результаты измерений имеют некоторые погрешности.

График: по горизонтали объем жидкости (мл) от 0 до 2000, по вертикали сила тока (А) от 0,00 до 1,40; точки от 200 до 2000 мл, соединённые плавной кривой, возрастающей от 0,06 до 1,19 А с увеличением наклона. — График 2. Зависимость силы тока от объема (конический сосуд)

Таблица 2.

$V, \text{см}^{3}$	$I, A$
200	0,064
400	0,133
600	0,208
800	0,289
1000	0,379
1200	0,479
1400	0,596
1600	0,735
1800	0,915
2000	1,189

2.1 Укажите, какой сосуд (а), или (б) использовался в данном эксперименте.

2.2 Используя экспериментальные данные Таблицы 2, постройте график зависимости радиуса сосуда $r$ от расстояния до его дна $h$ - $r(h)$ . Рассчитайте с максимальной точностью геометрические параметры сосуда – радиус основания $r_0$ и угол $\theta$ , который образует боковая стенка сосуда с вертикалью. Приведите все формулы, по которым Вы провели расчеты.

Подсказка. Можно считать, что при добавлении очередной порции жидкости в сосуд изменение уровня жидкости в сосуде значительно меньше радиуса дна сосуда.

Примечание. Объем прямого кругового конуса равен одной трети от произведения площади основания на высоту:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Прямой круговой конус высотой h с радиусом основания r и формулой V = (1/3)πr²h.

Решение

Задание 9-3. Форма полости.

Часть 1. Цилиндрические сосуды.

1.1 Сопротивление между стержнями полностью определяется сопротивлением жидкости, если сопротивление стержней и подводящих проводов пренебрежимо мало. Далее: электрический ток, протекающий между стержнями в жидкости (в плоскости перпендикулярной стержням), локализован в малой области вблизи стержней. Поэтому измеряемое сопротивление не должно зависеть от диаметра сосуда, который заметно превышает расстояние между стержнями. Поэтому Электрическое сопротивление между стержнями должно быть обратно пропорционально высоте уровня налитой жидкости

R=\frac{b}{h}.\qquad (1)

Параметр $b$ имеет смысл электрического сопротивления слоя жидкости толщиной в 1 см.

1.2 По закону Ома измеряемая сила тока равна:

I=\frac{U_0}{R}=\frac{U_0}{b}h=\frac{U_0}{b}\frac{4V}{\pi D^2}.\qquad (2)

При выводе использована формула для объема цилиндра $V=\frac{\pi D^2}{4}h$ , из которой выражена зависимость высоты уровня жидкости от объема налитой жидкости. Таким образом, параметр $k$ в экспериментальной зависимости силы тока от объема жидкости равен

k=\frac{4U_0}{b\pi D^2}.\qquad (3)

Эта формула позволяет вычислить значения параметра $b$ для всех использованных сосудов

b=\frac{4U_0}{k\pi D^2}.\qquad (3)

Значение параметра $b$ для трех различных диаметров сосудов приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

$D,\text{см}$	$k,\text{Ом}\cdot\text{см}^{-3}$	$b,\text{Ом}\cdot\text{см}$
4,0	578	38,10
6,0	1301	37,90
8,0	2312	37,94

1.3 Для всех сосудов значение этого параметра примерно одинаковое, поэтому что подтверждает теоретическую формулу (1) и сделанные при ее выводе предположения.

Часть 2. Конический сосуд.

2.1 Как следует из результатов части 1, сопротивление между стержнями зависит только от высоты уровня жидкости в сосуде и не зависит от его формы. Кроме того, сила тока прямо пропорциональна высоте уровня жидкости $h$ . Из приведенного графика зависимости проводимости от объема налитой жидкости следует, что высота уровня жидкости возрастает быстрее, чем возрастает объем жидкости. Следовательно, сосуд сужается, т.е. использован сосуд (б).

2.2 Для каждого значения объема налитой жидкости $V_n$ по измеренному значению сопротивления $R_n=\frac{U_0}{I_n}$ с помощью формулы (2) можно рассчитать высоту уровня жидкости

h_n=\frac{b}{R_n}=\frac{b}{U_0}I_n\qquad (3)

Точный теоретический расчет зависимости уровня жидкости в сосуде от ее объема возможен, но является слишком громоздким. Поэтому следует воспользоваться «подсказкой» и упростить методику расчетов. Эти приближенные методы, конечно, имеют некоторую погрешность, но она вполне допустима, так приведенные результаты также имеют некоторую погрешность.

Вычислим изменение уровня жидкости $\Delta h_n=h_n-h_{n-1}$ при добавлении очередной порции жидкости объемом $\Delta V$ . С хорошей точностью можно считать, что этот тонкий слой примерно имеет форму цилиндры, поэтому его объем равен

\Delta V_n=\pi\bar{r}_n^2\Delta h_n.\qquad (4)

Здесь $\bar{r}_n$ «средний» радиус слоя жидкости толщиной $\Delta h_n=h_n-h_{n-1}$ . Приближенно можно считать, что $\bar{r}$ есть радиус сосуда на средней высоте $\bar{h}_n=\frac{1}{2}(h_{n-1}+h_n)$ . Из формулы (4), следует, что

\bar{r}_n=\sqrt{\frac{\Delta V_n}{\pi\Delta h_n}}.\qquad (5)

Таким образом, требуемая зависимость радиуса сосуда от расстояния до дна задается точками с координатами $(\bar{h}_n,\bar{r}_n)$ . Результаты расчетов этих точек приведены в Таблице 2.

Таблица 2.

$V_n,\text{см}^3$	$I,A$	$h_n,\text{см}$	$\Delta h_n,\text{см}$	$\bar{h}_n,\text{см}$	$\bar{r}_n,\text{см}$
200	0,064	0,540
400	0,133	1,123	0,583	0,832	10,45
600	0,208	1,756	0,633	1,440	10,03
800	0,289	2,440	0,684	2,098	9,65
1000	0,379	3,200	0,760	2,820	9,15
1200	0,479	4,045	0,844	3,623	8,68
1400	0,596	5,033	0,988	4,539	8,03
1600	0,735	6,207	1,174	5,620	7,36
1800	0,915	7,727	1,520	6,967	6,47
2000	1,189	10,040	2,314	8,884	5,25

График зависимости $\bar{r}_n(\bar{h}_n)$ приведен на следующем рисунке. Полученная зависимость линейна, что, во-первых, косвенно подтверждает применимость примененного приближенного метода; во-вторых, указывает, что сосуд действительно имеет форму расширяющегося усеченного конуса.

Для сужающейся конической поверхности теоретически эта зависимость описывается формулой

r=r_0-h\cdot\operatorname{tg}\theta.\qquad (6)

С помощью полученного графика определяем

\begin{aligned}r_0&=11{,}0\ \text{см}\\\operatorname{tg}\theta&=0{,}65\quad\Rightarrow\quad\theta\approx33^\circ.\end{aligned}\qquad (7)

Примечание к источнику. В Таблице 1 ключа напечатаны единицы $k,\text{Ом}\cdot\text{см}^{-3}$ и значения 578, 1301, 2312, отличающиеся от коэффициентов $k$ в условии. Номер (3) повторён трижды. На странице 11 слово «расширяющегося» противоречит ответу «сосуд (б)», убывающему графику и следующей фразе о сужающейся поверхности. Все эти исходные данные, значения Таблицы 2 и противоречия сохранены без исправления.

Тонкий слой жидкости в усечённом конусе: Δh_n, h_n/h_(n−1), средний радиус, ΔV_n и r0.

Исходный график зависимости среднего радиуса от средней высоты с сеткой, шкалами, точками, прямой и указателем r0.

Оригинал в Архива: G_2022_9_2_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_9__2_reshenie.pdf