Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-3. Электромобиль.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Официальный ключ для жюри получен из того же архивного комплекта. Две независимые задачи архимедовой разминки показаны отдельно; задания МКТ и электромобиль с взаимосвязанными частями сохранены целиком. В ключе МКТ напечатано F₂−F₁=mg при предыдущем определении F₁ для дна и F₂ для крышки; ссылка на выражение (2) при z=0 сохранена. Формула (23) использует vₓ₀+u, хотя (13) содержит 2u; коэффициенты (24)–(26) сохранены буквально. Ключ дает одно изменение температуры без отдельного подписанного ответа для противоположной стороны поршня. В задаче о стержне сохранены условие ρ₂<ρ₁ и вывод о невозможности устойчивой жидкости. Числовые баллы не указаны; отдельные чистые бланки ответов не получены.

10 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (4 стр.).

Решения задач. 10 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 1.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Игрушечный электромобиль снабжен электродвигателем ЭД, подключенным к источнику постоянного напряжения $U_0$ . Для регулировки скорости электромобиля используется переменный резистор $R$ , электрическое сопротивление которого изменяется от нуля до некоторого максимального значения $R_{\max}$ . Электрическая схема электромобиля показана на рисунке. Сопротивлением проводов, обмотки двигателя и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь.

При испытании игрушки оказалось, что

сила тяги $F$ , развиваемая электродвигателем (переданная на его ведущие колеса) пропорциональная силе тока $I$ , протекающего через обмотку двигателя

F = kI, \qquad (1)

сила сопротивления воздуха $F_c$ , действующая на автомобиль, пропорциональна квадрату скорости автомобиля $v$

F_c = \beta v^2. \qquad (2)

В формулах (1) – (2) $k$ и $\beta$ - некоторые постоянные размерные коэффициенты.

Электрическая схема: источник постоянного напряжения U0 (слева), последовательно соединённый с переменным резистором R (сверху, прямоугольник со стрелкой) и электродвигателем ЭД (справа, круг).

При испытания электромобиля оказалось, что максимальная скорость, которую может достичь автомобиль, движущийся по твердой горизонтальной поверхности (когда можно пренебречь силой трения качения), равна $v_{\max}$ , при этом сила тока в цепи равна $I_0$ . При застопоренном двигателе минимальная сила тока в цепи равна $I_1$ , причем $\dfrac{I_1}{I_0} = \gamma$ . При численных расчетах считайте, что $\gamma = 2{,}0$ .

При решении задачи учитывайте, что единственным известным параметром является величина $\gamma$ , поэтому все окончательные формулы должны содержать только этот параметр!

1.1 Часть 1. Движение по твердой горизонтальной поверхности.

В данной части считайте, что на движущийся автомобиль действует только сила сопротивления воздуха (сила трения качения пренебрежимо мала). Вам требуется рассчитать характеристики электромобиля при его установившемся равномерном движении по твердой горизонтальной поверхности. Для теоретического описания движения электромобиля удобно использовать следующие относительные величины:

отношение сопротивления переменного резистора к его максимальному сопротивлению:

x = \frac{R}{R_{\max}}; \qquad (3)

отношение скорости электромобиля к его максимальной скорости:

y = \frac{v}{v_{\max}}; \qquad (4)

отношение силы тока в цепи к силе тока при максимальной скорости:

z = \frac{I}{I_0}. \qquad (5)

Получите систему уравнений, позволяющую найти зависимости относительной скорости и относительной силы тока от относительного сопротивления резистора - $y(x)$ и $z(x)$ . В эту систему уравнений помимо указанных переменных может входить только единственный известный параметр $\gamma$ .

1.2 Найдите зависимость относительной скорости электромобиля от относительного сопротивления резистора $y(x)$ .

1.3 Найдите зависимость относительной силы тока в цепи от относительного сопротивлении резистора $z(x)$ .

1.4 Найдите зависимость КПД электродвигателя $\eta$ от его скорости $\eta(y)$ .

1.5 Постройте точные графики полученных зависимостей $y(x)$ , $z(x)$ , $\eta(y)$ .

2.1 Часть 2. Движение электромобиля по ковру.

В этой части рассматривается движение электромобиля по ковру, когда на электромобиль помимо описанной силы сопротивления воздуха действует постоянная, не зависящая от скорости, сила трения качения, равная

F_{\text{тр.}} = \varepsilon \beta v_{\max}^2, \qquad (6)

где $v_{\max}$ - определенная ранее максимальная скорость при движении по твердой горизонтальной поверхности; $\varepsilon = 0{,}10$ .

Рассчитайте, при каких значениях относительного сопротивления $x$ переменного резистора электромобиль сможет двигаться по ковру.

2.2 Определите, как изменится максимальная скорость движения электромобиля вследствие появления силы трения качения.

Подсказка. При работе электродвигателя в его обмотке возникает ЭДС самоиндукции!

Решение

Задача 3. Электромобиль.

Часть 1. Движение по твердой горизонтальной поверхности.

1.1 Запишем уравнения, описывающие движение электромобиля в установившемся режиме.
Первое. При движении с постоянной скоростью сила тяги, развиваемая двигателем, точно уравновешивает силу сопротивления воздуха, поэтому

kI=\beta v^2.\qquad (1)

Второе. Так как при работе двигателя в его обмотке возникает неизвестная (или трудно рассчитываемая) ЭДС самоиндукции, то использовать закон Ома для определения силы тока в цепи невозможно. Поэтому вместо этого закона следует воспользоваться законом сохранения энергии: энергия, выдаваемая источником тока $U_0I$ , расходуется на теплоту, выделяющейся на резисторе $I^2R$ и на работу по преодолению сил сопротивления $F_cv=\beta v^3$ , следовательно:

U_0I=I^2R+\beta v^3.\qquad (2)

Для того, чтобы получить систему уравнений в «безразмерном» виде, перепишем уравнения (1) – (2) для двух крайних случаев, описанных в условии задачи. При застопоренном двигателе скорость автомобиля равна нулю. В этом случае сила тока будет минимальна при максимальном сопротивлении резистора. Поэтому

I_1=\frac{U_0}{R_{\max}}\quad\Rightarrow\quad R_{\max}=\frac{U_0}{I_1}.\qquad (3)

Скорость электромобиля будет максимальна при нулевом сопротивлении резистора, в этом случае

\begin{aligned}U_0I_0&=\beta v_{\max}^3,\\kI_0&=\beta v_{\max}^2.\end{aligned}\qquad (4)

Выразим значения сопротивления резистора, скорости электромобиля и силы тока в цепи через указанные в условии безразмерные параметры:

\begin{aligned}R&=xR_{\max},\\v&=yv_{\max},\\I&=zI_0\end{aligned}\qquad (5)

и подставим их в исходные уравнения. Тогда из уравнения (1) следует

kI=\beta v^2\quad\Rightarrow\quad kI_0z=\beta v_{\max}^2y^2.\qquad (6)

Тогда с учетом (4), получим

z=y^2.\qquad (7)

Подстановка (5) в уравнение (2) дает

U_0I=I^2R+\beta v^3\quad\Rightarrow\quad U_0I_0z=I_0^2R_{\max}z^2x+\beta v_{\max}^3y^3\quad\Rightarrow\quad U_0I_0z=I_0^2\frac{U_0}{I_1}z^2x+\beta v_{\max}^3y^3.

При учете соотношения (4), получаем окончательно

z=\frac{I_0}{I_1}z^2x+y^3\quad\Rightarrow\quad z^2x+\gamma y^3-\gamma z=0.\qquad (8)

Таким образом, уравнения (7) и (8) образуют искомую систему для расчета требуемых зависимостей.

1.2 Найти решение полученной системы довольно просто. Подставим значение $z$ из уравнения (7) в уравнение (8):

y^4x+\gamma y^3-\gamma y^2=0.\qquad (9)

После сокращения, получаем квадратное уравнение

y^2x+\gamma y-\gamma=0.\qquad (10)

Положительный корень, которого равен:

y(x)=\frac{\sqrt{\gamma^2+4\gamma x}-\gamma}{2x}.\qquad (11)

Заметим, что при $x\to0$ $y\to1$ .

1.3 Зависимость $z(x)$ следует из уравнения (7):

z(x)=y^2=\left(\frac{\sqrt{\gamma^2+4\gamma x}-\gamma}{2x}\right)^2.\qquad (12)

1.4 В данном случае под КПД следует понимать отношение мощности двигателя к мощности, развиваемой источником тока, поэтому

\eta=\frac{\beta v^3}{U_0I}=\frac{\beta v_{\max}^3y^3}{U_0I_0z}=\frac{y^3}z=y.\qquad (13)

1.5 Необходимые расчеты по полученным формулам приведены в таблице, по которой построены требуемые графики.

Сопротивление, $x$	Скорость $y$	Сила тока, $z$	КПД, $\eta$
0,00	1,00	1,00	1,00
0,10	0,95	0,91	0,95
0,20	0,92	0,84	0,92
0,30	0,88	0,78	0,88
0,40	0,85	0,73	0,85
0,50	0,83	0,69	0,83
0,60	0,81	0,65	0,81
0,70	0,78	0,62	0,78
0,80	0,77	0,59	0,77
0,90	0,75	0,56	0,75
1,00	0,73	0,54	0,73

Зависимость силы тока от сопротивления: z(x), полный оригинальный график.

Зависимость скорости от сопротивления: y(x), полный оригинальный график.

Зависимость КПД от скорости: η(y), полный оригинальный график.

Часть 2. Движение электромобиля по ковру.

2.1 При появлении постоянной силы трения качения исходные уравнения преобразуются следующим очевидным образом:

kI=F_{\text{тр.}}+\beta v^2.\qquad (14)

U_0I=I^2R+F_{\text{тр.}}v+\beta v^3.\qquad (15)

Учитывая, что по условию $F_{\text{тр.}}=\varepsilon\beta v_{\max}^2$ , и проведя аналогичный переход к безразмерным уравнениям, получим следующую систему уравнений

\begin{aligned}z&=\varepsilon+y^2,\\z&=\frac1\gamma z^2x+\varepsilon y+y^3.\end{aligned}\qquad (16)

Когда электромобиль только начинает двигаться, его скорость еще равна нулю, поэтому и $y=0$ . Тогда из системы уравнений (16) легко найти:

\begin{cases}z=\varepsilon,\\z=\dfrac1\gamma z^2x\end{cases}\quad\Rightarrow\quad x=\frac\gamma\varepsilon=20.\qquad (17)

Найденное значение больше максимального значения сопротивления резистора. Поэтому электромобиль сдвинется при любом возможном значении сопротивления резистора.

2.2 Как и ранее, максимальная скорость автомобиля будет достигаться при нулевом сопротивлении переменного резистора, т.е. при $x=0$ . В этом случае система (16) преобразуется к виду

\begin{cases}z=\varepsilon+y^2,\\z=\varepsilon y+y^3\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\varepsilon+y^2=\varepsilon y+y^3\quad\Rightarrow\quad y=1.\qquad (18)

То есть максимальная скорость движения электромобиля при появлении силы трения качения не изменится.

Оригинал в Архива: RF2022_var1_10_usloviya.pdf · официални решения: RF2022_var1_10_reshenie.pdf