Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-1.2. 10 класс — 1.2 Однородный стержень в неоднородной жидкости.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Официальный ключ для жюри получен из того же архивного комплекта. Две независимые задачи архимедовой разминки показаны отдельно; задания МКТ и электромобиль с взаимосвязанными частями сохранены целиком. В ключе МКТ напечатано F₂−F₁=mg при предыдущем определении F₁ для дна и F₂ для крышки; ссылка на выражение (2) при z=0 сохранена. Формула (23) использует vₓ₀+u, хотя (13) содержит 2u; коэффициенты (24)–(26) сохранены буквально. Ключ дает одно изменение температуры без отдельного подписанного ответа для противоположной стороны поршня. В задаче о стержне сохранены условие ρ₂<ρ₁ и вывод о невозможности устойчивой жидкости. Числовые баллы не указаны; отдельные чистые бланки ответов не получены.

10 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (4 стр.).

Решения задач. 10 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 1.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Данная задача состоит из двух не связанных между собой задач.

1.2.1 Задача 1.2 Однородный стержень в неоднородной жидкости.

В данной задаче рассматриваются условия плавания стержня в жидкости, плотность которой изменяется с глубиной.

Сосуд с жидкостью, в которую вертикально погружён тонкий стержень; плотность стержня обозначена ρ0, плотность жидкости у поверхности — ρ1, у дна — ρ2 (жидкость темнеет с глубиной); длина стержня отмечена стрелкой l, глубина погружения его нижнего конца — стрелкой z, высота уровня жидкости — стрелкой h = l.

Тонкий однородный стержень длины $l$ , изготовленный из материала плотности $\rho_0$ , погружен в сосуд, заполненный жидкостью. Высота уровня жидкости в сосуде равна длине стержня $h = l$ . Плотность жидкости у поверхности равна $\rho_1$ , далее она возрастает по линейному закону с увеличением глубины $z$ и достигает значения $\rho_2$ у дна сосуда.

Установите, каком соотношении между заданными плотностями $\rho_0, \rho_1, \rho_2$ стержень может плавать в вертикальном положении.

1.2.2 Найдите глубину погружения нижнего конца стержня $z$ при его вертикальном положении, в зависимости от заданных значений плотностей $\rho_0, \rho_1, \rho_2$ .

1.2.3 Установите, при каком соотношении между заданными плотностями $\rho_0, \rho_1, \rho_2$ стержень может плавать в вертикальном положении, находясь в положении устойчивого равновесия при глубине погружения $z \approx l$ . Считайте, что при этом стержень дна не касается. Можно ли реализовать такую ситуацию на практике?

Решение

Задача 1.2 Однородный стержень в неоднородной жидкости.

1.2.1 – 1.2.2 Так как искомая зависимость плотности от глубины погружения является линейной, то она описывается формулой

\rho(z)=\rho_1+\frac{\rho_2-\rho_1}{l}z.\qquad (1)

Чтобы тело плавало, необходимо, что сила Архимеда могла уравновесить силу тяжести. Сила тяжести, действующая на стержень равна

mg=\rho_0lSg,\qquad (2)

где $S$ - площадь поперечного сечения стержня.
Сила Архимеда равна силе тяжести, действующей на вытесненный объем воды. Так плотность воды изменяется по линейному закону, то при расчете массы столбика вытесненной воды можно использовать ее среднюю плотность, равную среднему арифметическому плотностей на ее краях, или равной ей плотности на середине столбика. Поэтому при погружении нижнего конца стержня на глубину $z$ , действующая на него сила Архимеда будет равна

F_A=\frac{\rho_1+\rho(z)}2zSg=\left(\rho_1+\frac{\rho_2-\rho_1}{2l}z\right)zSg.\qquad (3)

Из условия плавания следует уравнение для определения глубины погружения:

\rho_0l=\left(\rho_1+\frac{\rho_2-\rho_1}{2l}z\right)z.\qquad (4)

Предельным случаем плавания является $z=l$ . Поэтому условием плавания является выполнение очевидного условия:

\rho_0l<\left(\rho_1+\frac{\rho_2-\rho_1}{2l}l\right)l=\frac{\rho_2+\rho_1}2l.\qquad (5)

Или

\rho_0<\frac{\rho_2+\rho_1}2.\qquad (6)

Для определения глубины погружения необходимо решить уравнение (4), из которого следует, что

z=l\frac{\sqrt{\rho_1^2+2\rho_0(\rho_2-\rho_1)}-\rho_1}{\rho_2-\rho_1}.\qquad (7)

1.2.3 Что бы вертикальное плавание было устойчиво, необходимо, чтобы центр масс стержня находился глубже, чем центр масс вытесненного столбика воды. При полном погружении стержня его центр масс погружается на глубину $\frac l2$ . Чтобы центр масс вытесненной воды находился выше этой точки необходимо, чтобы плотность жидкости у поверхности была больше, чем плотность жидкости у дна, т.е.

\rho_2<\rho_1.\qquad (8)

В этом случае жидкость в поле тяжести станет неустойчивой, начнется ее перемешивание, поэтому реализовать такой эксперимент нельзя.

Оригинал в Архива: RF2022_var1_10_usloviya.pdf · официални решения: RF2022_var1_10_reshenie.pdf