Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 11. клас — Задача 11-2. Струна с незакрепленным концом.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Официальный ключ для жюри получен из того же архивного комплекта: все три задания и 20 вопросов сохранены целиком, без разделения связанных частей. В условии иголки напечатан полураствор π/2, а ключ использует прямой угол при вершине и направления сил под45°. В ключе иголки ссылка «неравенства (1)», обозначение n₁ в размерном интервале (15), строгие неравенства и предел α<17° сохранены. Ключ струны озаглавлен «Гитарная струна», вторая часть — «Колебания закрепленной струны»; условие содержит другие заголовки. Формула ключа (8) буквально заканчивается W=TΔl=T; подсказка условия называет u₀ отклонением центра струны. В ключе отскока сохранены напечатанные выражения v′ₓ и v′, cosα в (9) при cosβ в следующем определении Cₓ, zmax/zmin и средняя сила −5,69МН. Два знака отношения между z₀ и A на странице10 исходного ключа отображаются пустыми прямоугольниками: здесь сохранены квадраты, отсутствующий знак не восстановлен догадкой. Числовые баллы и отдельные чистые бланки ответов не получены. Две прежние поправки Opus к написанию стержня в условии сохранены без изменения; исходная атрибуция и полный старый текст связаны в истории источника.

11 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.).

Решения задач. 11 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

В данной задаче рассматриваются малые поперечные колебания струны с одним закрепленным и одним скользящим концами. Считайте, что один конец струны может скользить без трения по направляющему стержню, расположенному перпендикулярно струне.

Оси u (вертикальная) и x (горизонтальная); струна закреплена в точке x = a на оси x, левый конец скользит по оси u; жирная линия — форма струны в начальный момент (четверть косинусоиды с максимумом на оси u), тонкие линии — формы в последующие моменты, выше и ниже оси x, все сходятся в точке a.

Основная мода (тип, форма) колебания этой струны показана на рисунке (жирная линия – форма струны в начальный момент времени, тонкие линии ее форма в другие последовательные моменты времени).

Для описания колебаний струны введем ось $x$ , которая совпадает с положением струны в состоянии равновесия. Координата точки крепления струны $a$ (длина струны в недеформированном состоянии равна $a$ ). Колебания струны описываются функцией $u(x,t)$ - зависимостью отклонения точки струны с координатой $x$ от времени.

В состоянии равновесия струна натянута, сила натяжения равна $T$ . При малых колебаниях струны изменением силы натяжения струны можно пренебречь.

Линейная плотность (масса единицы длины) струны равна $\rho$ .

1.1 Часть 1. Бегущие и стоячие волны на струне.

В данной части рассмотрим бесконечную струну, сила натяжения которой равна $T$ , а линейная плотность $\rho$ . По струне пробегают гармонические волны с малой амплитудой $U_0$ . Круговая частота этих волн $\omega$ , длина волны $\lambda$ .

Запишите функции $u_1(x,t)$ и $u_2(x,t)$ , описывающие волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси $x$ , соответственно.

1.2 Покажите, что при наложении этих волн возникает стоячая волна. Получите функцию $u(x,t)$ , описывающую эту стоячую волну.

1.3 Выразите скорость распространения бегущих волн через характеристики волны $\omega$ и $\lambda$ .

2.1 Часть 2. Колебания полузакрепленной струны.

Рассмотрим колебания закрепленной струны, показные на рисунке. Обозначим круговую частоту изображенного типа колебаний $\omega$ , в этой части вам необходимо выразить эту частоту через характеристики струны: ее длину $a$ , силу натяжения $T$ и линейную плотность $\rho$ .

Запишите функцию $u(x,t)$ , описывающую рассматриваемый тип колебаний струны.

2.2 Обозначим отклонение крайней подвижной точки струны от положения равновесия $u_0(t)$ , а ее скорость $v_0(t)$ .

Выразите кинетическую энергию $E(t)$ движения всей струны через скорость ее крайней точки $v_0(t)$ .

2.3 Выразите потенциальную энергию деформации струны $W(t)$ через координату крайней точки струны $u_0(t)$ .

2.4 Выразите круговую частоту рассматриваемых колебаний $\omega$ через параметры струны $a, \rho, T$ .

2.5 Получите формулу для скорости распространения бегущих волн по бесконечной струне.

Математические подсказки.

1. $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ .

2. $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)$ .

3. $\sin^2\alpha = \dfrac{1}{2}(1-\cos 2\alpha)$ .

4. Длина изогнутой струны, показанной на рисунке, описывается приближенной формулой

l = a\left(1 + \frac{1}{4}\left(\frac{\pi u_0}{2a}\right)^2\right),

где $u_0$ - отклонение центра струны.

Решение

Задача 2. Гитарная струна.

Часть 1. Бегущие и стоячие волны на струне.

1.1 Функции $u_1(x,t)$ и $u_2(x,t)$ , описывающие волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси $x$ , имеют вид

\begin{aligned}u_1(x,t)&=U_0\cos(\omega t-kx)\\u_2(x,t)&=U_0\cos(\omega t+kx)\end{aligned},\qquad (1)

где $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ - волновое число.

1.2 Результатом сложения этих волн является волна, описываемая функцией

u(x,t)=U_0\cos(\omega t-kx)+U_0\cos(\omega t+kx)=2U_0\cos(\omega t)\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right).\qquad (2)

Эта функция описывает стоячую волну.

1.3 Скорость волны может быть представлена в виде

c=\lambda\nu=\frac{\lambda\omega}{2\pi}.\qquad (3)

Часть 2. Колебания закрепленной струны.

2.1 Функция, описывающая данный тип колебаний имеет вид

u(x,t)=U_0\cos(\omega t)\cos\left(\frac\pi{2a}x\right),\quad x\in[0,a].\qquad (4)

2.2 Если зависимость смещения точек струны от времени имеет вид (4), то зависимость их скоростей от времени задается функцией

v(x,t)=-U_0\omega\sin(\omega t)\cos\left(\frac\pi{2a}x\right)=v_0\cos\left(\frac\pi{2a}x\right).\qquad (5)

Выделим на струне небольшой участок длиной $\Delta x$ , положение которого определяется координатой $x$ . Кинетическая энергия этой малой части струны равна

\Delta E=\frac{\rho\Delta x}{2}v^2(x)=\frac{\rho\Delta x}{2}v_0^2\cos^2\left(\frac\pi{2a}x\right).\qquad (6)

Кинетическая энергия всей струны рассчитывается как сумма кинетических энергий всех ее участков:

E=\sum_i\frac{\rho\Delta x}{2}v_0^2\cos^2\left(\frac\pi{2a}x_i\right)=\frac{\rho v_0^2}{2}\sum_i\frac12\left(1+\cos\left(2\frac\pi{2a}x_i\right)\right)\Delta x=\frac{\rho v_0^2}{4}a.\qquad (7)

При вычислении суммы учтено, что сумма длин всех участков равна длине струны $\sum_i\Delta x=a$ . Второе слагаемое обращается в ноль, так как в рассматриваемом интервале $x$ косинус принимает как положительные, так и отрицательные значения.

2.3 Так как сила изменением силы натяжения струны рекомендовано пренебречь, то потенциальная энергия изогнутой струны равна работе по растяжению струны:

W=T\Delta l=T.\qquad (8)

Используя формулу для длины струны, приведенную в «Математической подсказке», получаем выражение для потенциальной энергии струны

W=T\Delta l=\frac{\pi^2T}{16a}u_0^2.\qquad (9)

2.4 Запишем уравнения закона сохранения механической энергии для всей струны

\frac{\rho a}{4}v_0^2+\frac{\pi^2T}{16a}u_0^2=const.\qquad (10)

Это уравнение есть уравнение гармонических колебаний с частотой

\omega=\sqrt{\frac{\dfrac{\pi^2T}{16a}}{\dfrac{\rho a}{4}}}=\frac\pi{2a}\sqrt{\frac T\rho}.\qquad (11)

2.5 Рассматриваемое колебание можно рассматривать как стоячую волну, описываемую функцией (4). Сравнивая эту функцию с функцией (2), находим, что данное колебание есть сумма двух бегущих волн с длиной волны

\lambda=4a.\qquad (12)

Поэтому можно использовать формулу (3) для скорости бегущей волны, в результате чего получим

c=\frac{\lambda\omega}{2\pi}=\frac{4a\cdot\dfrac\pi{2a}\sqrt{\dfrac T\rho}}{2\pi}=\sqrt{\frac T\rho}.\qquad (13)

Оригинал в Архива: RF2022_var2_11_usloviya_is.pdf · официални решения: RF2022_var2_11_resheniya_is.pdf