Съдържание

Условие Часть 1. Адиабатный процесс Часть 2. Цикл с адиабатой Отговори Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 6. Задание 10-3. Не хуже Карно ..?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап). Теоретический тур

9 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика», 2023-2024 учебный год

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

9 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы вы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (6 стр.).

9 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

10 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (10 стр.).

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

11 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (8 стр.).

11 класс. Теоретический тур. Вариант I.

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты их решений, конечно же, не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы физически обоснованы и приводят к правильным ответам, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты.

Если окончательный результат не занесен в Лист ответов, но содержится в основном решении, то этот результат также необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Двигатели внутреннего сгорания (ДВС), работающие по различным термодинамическим циклам, успешно работают в современном мире. Миллионы машин используют как бензиновые, так и дизельные ДВС, а доля электромобилей на мировом рынке в настоящий момент крайне невелика – около 2 %.

Гравюрный портрет молодого Сади Карно в мундире с высоким воротником. — Рис. 1

При создании ДВС в середине XIX века перед инженерами и конструкторами встал важный прикладной (и научный!) вопрос: а какой тепловой двигатель имеет максимальный термодинамический КПД, т.е. является идеальной тепловой машиной?

Заметим, что цикл Отто (бензиновый двигатель) и цикл Дизеля (дизельный двигатель) не являются идеальными тепловыми циклами, хотя автомобили, работающие по этим циклам, и составляют львиную долю современного производства.

Цикл Карно на p–V-диаграмме: две изотермы и две адиабаты ограничивают затененную область, стрелки показывают направление обхода. — Рис. 2

Идеальная тепловая машина была описана в 1824 г. французским физиком и инженером Сади Карно (Рис. 1) в работе «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу».

Идеальный цикл Карно (Рис. 2), состоящий из двух изотерм и двух адиабат, сегодня известен каждому школьнику.

В данном задании мы немного «пофантазируем» и предложим свой цикл, который также использует элементы знаменитого цикла Карно.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: если $a^n b^m = const$ , то при малых $\Delta a$ и $\Delta b$ $(\Delta a \ll a,\ \Delta b \ll b)$ справедливо равенство: $n\frac{\Delta a}{a} + m\frac{\Delta b}{b} = 0$ (справедливо также и обратное утверждение); молярная газовая постоянная $R = 8{,}31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ .

Часть 1. Адиабатный процесс

Термодинамический процесс, проводимый без теплообмена $(Q = 0)$ с окружающей средой (т.е. в теплоизолированной системе), называется адиабатным процессом. Адиабатными являются многие быстропротекающие процессы (взрыв, быстрое расширение (сжатие) газа, распространение звуковой волны), процесс подъема теплого воздуха с поверхности земли с последующим охлаждением, конденсацией пара и образованием облаков и т.д.

1.1 Теплоёмкость $c^M$ идеального газа, взятого в количестве $\nu = 1\ \text{моль}$ $(m = M)$ , называется молярной теплоёмкостью. Найдите молярную теплоёмкость $c_V^M$ идеального одноатомного газа при изохорном процессе, т.е. при постоянном объёме $(V = const)$ . Запишите формулу для внутренней энергии $U$ идеального одноатомного газа через $c_V^M$ и в дальнейшем используйте её для любого идеального газа.

1.2 Выразите молярную теплоемкость идеального газа $c_p^M$ при постоянном давлении $(p = const)$ , т.е. при изобарном процессе, через $c_V^M$ .

1.3 Получите уравнение адиабатного процесса для произвольного идеального газа в переменных $(T, V)$ с показателем адиабаты $\gamma = \frac{c_p^M}{c_V^M}$ .

1.4 В полученном уравнении сделайте замену переменных и запишите уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) для произвольного идеального газа в «традиционном» виде, т.е. в переменных $(p, V)$ .

1.5 Схематически изобразите на одной $(p, V)$ – диаграмме ход адиабаты и изотермы идеального газа. Кратко охарактеризуйте особенности построенных графиков.

Часть 2. Цикл с адиабатой

С идеальным одноатомным газом провели циклический процесс $A \to B \to C \to A$ (Рис. 3), состоящий из изобары $A \to B$ , изохоры $B \to C$ и адиабаты $C \to A$ .

Цикл A→B→C→A в осях V/V₀ (абсцисса) и P/P₀ (ордината): горизонтальная изобара AB, вертикальная изохора BC, кривая адиабата CA; на оси абсцисс отмечены 1 (под A) и n (под B и C). — Рис. 3

Тот же цикл A→B→C на клетчатой сетке в осях V/V₀ и P/P₀; по оси абсцисс деления 2, 4, 6, 8, 10; точки A и B на одной горизонтали, C под B. — Рис. 4

2.1 Укажите участки цикла, на которых работал нагреватель, т.е. газ получал теплоту от внешнего источника. Найдите количество теплоты $Q_1$ , переданное рабочему телу от нагревателя в данном цикле.

2.2 Используя ранее полученные результаты, найдите давление $p_C$ газа в состоянии $C$ .

2.3 Укажите участки цикла, на которых работал холодильник, т.е. газ отдавал теплоту внешнему источнику. Найдите количество теплоты $Q_2$ , отданное рабочим телом холодильнику в данном цикле.

2.4 Выведите формулу для термодинамического КПД $\eta$ данного цикла. Как значение $\eta$ зависит от параметров $V_A$ и $p_A$ термодинамической системы в начальном состоянии? Как, по вашему мнению, это можно объяснить?

2.5 Чему равен максимально возможный термодинамический КПД $\eta_{max}$ описанного цикла?

2.6 На Рис. 4 изображен подобный процесс в безразмерных (относительных) координатах объёма и давления $(V/V_0; p/p_0)$ , где $V_0$ и $p_0$ – некоторые неизвестные размерные масштабные множители. Вычислите термодинамический КПД $\eta_1$ цикла, изображенного на Рис. 4.

Отговори

Решение

Часть 1. Адиабатный процесс

1.1 Внутренняя энергия идеального одноатомного газа вычисляется по формуле

U = \frac{3}{2}\frac{m}{M}RT = \frac{3}{2}\nu RT. \qquad (1)

Поскольку при изохорном процессе $(V = const)$ работа газом не совершается, то при нагревании идеального одноатомного газа на $\Delta T$ увеличится только его внутренняя энергия на $\Delta U$

\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T. \qquad (2)

С другой стороны, согласно условию, можем записать

\Delta U = c_V^M\nu\Delta T. \qquad (3)

Сравнивая (2) и (3), находим молярную теплоёмкость идеального одноатомного газа при постоянном объёме

c_V^M = \frac{3}{2}R. \qquad (4)

Заметим, что двухатомного идеального газа при комнатных температурах $c_V^M = \frac{5}{2}R$ , для трёхатомного $c_V^M = \frac{6}{2}R$ и далее она монотонно возрастает в зависимости от числа атомов и особенностей (температуры) изохорного процесса.

Используя (4) и (1), запишем внутреннюю энергию $U$ любого идеального газа в общем виде

U = c_V^M\nu T = \nu c_V^M T. \qquad (5)

1.2 Согласно первому началу термодинамики при произвольном процессе количество теплоты $\Delta Q$ , сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и совершение газом работы $\Delta A = p\Delta V$

\Delta Q = \Delta U + p\Delta V. \qquad (6)

Рассмотрим два близких состояния системы $(p, V)$ и $(p + \Delta p, V + \Delta V)$ . Из уравнения состояния идеального газа в форме Клапейрона – Менделеева для этих изобарных состояний можем записать

\begin{aligned} pV &= \nu R\Delta T \\ p(V + \Delta V) &= \nu R(T + \Delta T) \end{aligned}. \qquad (7)

Вычитая уравнения, из (7) найдем

p\Delta V = \nu R\Delta T. \qquad (8)

Подставляя (8) в (6), с учетом (3) получим для изобарного процесса

\Delta Q = c_V^M\nu\Delta T + \nu R\Delta T. \qquad (9)

Теперь, по определению, легко находим молярную теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении

c_p^M = \frac{\Delta Q}{\nu\Delta T} = \frac{c_V^M\nu\Delta T + \nu R\Delta T}{\nu\Delta T}\ . \qquad (10)

После сокращения на $\nu\Delta T$ , окончательно получаем, что для произвольного идеального газа справедливо равенство

c_p^M = c_V^M + R. \qquad (11)

Уравнение (11) было получено в 1842 г. немецким естествоиспытателем и очень внимательным медиком (!) Р. Майером, который первым заметил различия в цвете крови (!!) на экваторе и в средних широтах. Где кровь, а где термодинамика ...? ☺

Таким образом, согласно уравнению Майера, молярная газовая постоянная $R$ (см. размерность) даёт разность между молярными теплоемкостями идеального газа при различных процессах: при изобарном и при изохорном.

1.3 По определению адиабатный процесс осуществляется в теплоизолированной термодинамической системе, т.е. без теплообмена $(Q = 0)$ с окружающей средой, следовательно, первое начало термодинамики для него примет вид

Q = 0 = \Delta U + A. \qquad (12)

Из (12) следует, что малая работа $\Delta A$ идеального газа при малом объемном расширении на $\Delta V$ совершается только за счет убыли его внутренней энергии (притока теплоты нет)

\Delta A = p\Delta V = -\Delta U. \qquad (13)

С учетом (5) перепишем (13) в виде

p\Delta V = -\Delta U = -\nu c_V^M\Delta T. \qquad (14)

Выразим давление идеального газа из уравнения Клапейрона – Менделеева

pV = \nu RT \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{\nu RT}{V}. \qquad (15)

С учетом (15) выражение (14) примет вид

\frac{\nu RT}{V}\Delta V = -\nu c_V^M\Delta T \quad \Longrightarrow \quad -\frac{R}{c_V^M}\cdot\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}\ . \qquad (16)

Перепишем (16) в «удобном» виде, чтобы воспользоваться математической подсказкой из условия задачи

\frac{\Delta T}{T} + \frac{R}{c_V^M}\cdot\frac{\Delta V}{V} = 0\ . \qquad (17)

Теперь, с учетом математической подсказки из условия задачи, можем заключить, что справедливо равенство

TV^{\frac{R}{c_V^M}} = TV^{\gamma - 1} = \mathrm{const}\ . \qquad (18)

Поскольку $\frac{R}{c_V^M} = \gamma - 1$ , то окончательно получим

TV^{\gamma - 1} = \mathrm{const}\ .

где $\gamma = 1 + \frac{R}{c_V^M} = \frac{c_V^M + R}{c_V^M} = \frac{c_p^M}{c_V^M} \gt 1$ – показатель адиабаты Пуассона.

Несмотря на то, что уравнение адиабатного процесса в виде (18) легче выводится, чаще (с подачи самого Пуассона) оно используется в выражении через переменные $(p, V)$ .

1.4 Перепишем уравнение адиабаты для идеального газа в наиболее распространенном, «классическом» виде, которое использовал Пуассон, т.е. в переменных $(p, V)$ .

Для замены переменных из (15) выразим температуру $T$ и подставим в (18)

pV = \nu RT \quad \Longrightarrow \quad T = \frac{pV}{\nu R} \quad \Longrightarrow \quad \frac{pV}{\nu R}V^{\gamma - 1} = \mathrm{const} \quad \Longrightarrow \quad pV^{\gamma} = \mathrm{const}^{*}\ . \qquad (19)

Следовательно, уравнение адиабатного процесса (Пуассона) для произвольного идеального газа в параметрах $(p; V)$ можно записать в виде

pV^{\gamma} = \mathrm{const}\,, \qquad (20)

где показатель адиабаты $\gamma = \frac{c_p^M}{c_V^M} \gt 1$ .

1.5 Выразим зависимость давления от объема $p(V)$ идеального газа при изотермическом процессе

p = \frac{\nu RT}{V} = \frac{const_1}{V}\,, \qquad (21)

и при адиабатном процессе

p = \frac{const_2}{V^{\gamma}}\ . \qquad (22)

Поскольку $\gamma \gt 1$ , то из (21) и (22) следует, что с ростом объёма $V$ идеального газа на $(p, V)$ – диаграмме адиабата убывает «быстрее», чем изотерма. Можно сказать и по другому: на $(p, V)$ – диаграмме адиабата идет «круче», чем изотерма, поэтому у них обязательно будет точка пересечения $B$ (Рис. 5).

Соответственно, после точки пересечения графиков (см. Рис. 5), при $V \to \infty$ адиабата всегда прижимается «ближе» к оси абсцисс (объёмов), т.е. как бы «ныряет» под изотерму.

p–V-диаграмма: красная изотерма и более крутая зеленая адиабата пересекаются в точке B; подписи «адиабата» и «изотерма». — Рис. 5

Часть 2. Цикл с адиабатой

2.1 Пусть в состоянии $A$ идеальный газ имеет давление $p_A$ и объем $V_A$ , а в течение в течение цикла его объем увеличивается в $n$ раз (Рис. 2).

Участок $AB$ цикла соответствует изобарному нагреванию идеального газа, поэтому здесь газ (рабочее тело) получает теплоту от внешнего источника (работает нагреватель).

Участок $BC$ цикла соответствует изохорному охлаждению газа, поэтому здесь рабочее тело отдает теплоту внешнему источнику (работает холодильник).

Участок $CA$ цикла соответствует адиабатному сжатию газа, поэтому здесь газ не получает и не отдает теплоту внешнему источнику, поскольку отсутствует теплообмен (не работают ни холодильник, ни нагреватель).

Таким образом, газ получает теплоту от нагревателя только на участке $AB$ цикла.

Запишем первое начало термодинамики для участка $AB$ цикла

Q_1 = Q_{AB} = \Delta U_{AB} + A_{AB} = \{(11)\} = \frac{5}{2}\nu R\Delta T = \frac{5}{2}p_A V_A(n - 1)\ . \qquad (23)

Таким образом, согласно (23) количество теплоты $Q_1$ , полученное рабочим телом от нагревателя, определяется начальными параметрами системы (давлением $p_A$ и объемом $V_A$ ) и степенью расширения $n$ одноатомного газа.

2.2 Поскольку процесс $CA$ является адиабатическим, то можно воспользоваться уравнением Пуассона (20), согласно которому

p_A {V_A}^{\gamma} = p_C {V_C}^{\gamma} = p_C(nV_A)^{\gamma}\ , \qquad (24)

где показатель адиабаты $\gamma = \frac{c_p^M}{c_V^M} = \frac{5}{3}$ (одноатомный газ).

Тогда

p_C = \frac{p_A}{n^{\gamma}}\ . \qquad (25)

Как следует из (25) для одноатомного газа $(\gamma = 5/3)$ данное значение будет равно

p_C = \frac{p_A}{n^{5/3}}\ . \qquad (26)

2.3 Из анализа пункта 2.1 следует, что холодильник работал только на участке $BC$ цикла. Согласно первому началу термодинамики

Q_2 = Q_{BC} = \Delta U_{BC} + A_{BC} = \Delta U_{BC} = \{(3)\} = \frac{3}{2}\nu R\Delta T = \frac{3}{2}(p_A - p_C)nV_A\ . \qquad (27)

Используя (26), перепишем (27) в виде

Q_2 = \frac{3}{2}p_A\left(1 - \frac{1}{n^{5/3}}\right)nV_A = \frac{3}{2}p_A V_A\left(n - \frac{1}{n^{2/3}}\right). \qquad (28)

2.4 С учетом (23) и (28) для термодинамического КПД $\eta$ данного цикла получаем

\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{3}{5}\cdot\frac{\left(n - \frac{1}{n^{2/3}}\right)}{n - 1}\ . \qquad (29)

Как следует из (29) КПД данного теплового двигателя не зависит от начальных параметров $p_A$ и $V_A$ идеального газа, а зависит только от того, во сколько раз $n$ увеличивается объем газа в течение цикла.

Это связано с тем, что в данном цикле и количество теплоты $Q_1$ , полученное от нагревателя, и количество теплоты $Q_2$ , отданное холодильнику, оказались пропорциональны одной и той же величине $p_A V_A$ , которая, по итогу, сокращается.

2.5 Для нахождения максимального КПД цикла $\eta_{max}$ нужно исследовать (29) как функцию от $n$ (например, через производную). Но можно использовать и олимпиадный метод «хитрого глаза», т.е. внимательно, «по-рентгеновски» посмотреть на (29), учитывая свойства дробей.

Это приведет нас к системе неравенств

1 \lt \frac{\left(n - \frac{1}{n^{2/3}}\right)}{n - 1} \lt \frac{n}{n - 1}\ . \qquad (30)

Кроме того, при $n \to \infty$ выражение $\frac{n}{n - 1}$ стремится к единице. Следовательно, величина $\frac{\left(n - \frac{1}{n^{2/3}}\right)}{n - 1}$ стремится к единице сверху.

Соответственно, КПД цикла будет максимальным при $n \to \infty$ и это предельное значение равно

\eta_{max} = \eta(n \to \infty) = 1 - \frac{3}{5}\cdot 1 = \frac{2}{5} = 0{,}40 = 40\%. \qquad (31)

Полученное значение КПД $\eta_{max}$ конечно же не превышает предельное значение идеального цикла Карно, которое устанавливает теоретический предел возможного термодинамического КПД тепловой машины при данной разности температур.

2.6 Для цикла, изображенного на Рис. 4, объем газа по отношению к начальному значению увеличивается в $n = 7$ раз. Следовательно, согласно (29) КПД такого цикла

\eta = 1 - \frac{3}{5}\cdot\frac{\left(7 - \frac{1}{7^{2/3}}\right)}{7 - 1} = \{0{,}3273275883\} = 0{,}33 = 33\%\ . \qquad (32)

Цикл A→B→C на клетчатой сетке в осях V/V₀ и P/P₀: изобара AB, изохора BC, адиабата CA; по оси абсцисс отмечены 1 и n, по оси ординат 1. — Рис. 2

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2024_theoretical_solutions.pdf