Съдържание

НЕСФ 2000, Специална тема — Задача 2. Електрозахранване на орбитална станция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2000

Регионално състезание по физика, Плевен, 2-3.12.2000 г — Тема по програмата на Международната Олимпиада по физика · 2 декември 2000 г.

Условие

Космическа орбитална станция с метално външно покритие обикаля по кръгова орбита в екваториалната равнина на Земята, на височина $h = 230$ km. Орбитата на станцията е разположена в йоносферата: висок слой от земната атмосфера с голяма концентрация на свободни електрони и йони. Посредством кабел с дължина $L = 20$ km, към станцията е свързана метална сфера. По време на движение по орбитата, кабела е ориентиран радиално спрямо центъра на Замята (Фигура 1.).

Подобен опит е извършен през 1996 г от НАСА.

Данни:

Ускорение на свободно падане на повърхността на Замята, $g_0 = 9{,}81$ m/s2.
Радиус на Земята, $R_0 = 6370$ km.

Схема: Земята в центъра, пунктирана кръгова орбита, станция със сфера на кабел, ориентиран радиално, и означения L, h и B. — Фигура 1. Орбиталната станция с металната сфера, свързани с кабел с дължина $L$ , на височина $h$ над земната повърхност; векторът на магнитната индукция $B$ е перпендикулярен на равнината на орбитата.

А) Ако приемете, че земното магнитно поле е насочено перпендикулярно на равнината на орбитата и е еднородно по цялата дължина на кабела, с индукция $B = 5.10^{-5}$ T, пресметнете електродвижещото напрежение, което се индуцира между корпуса на станцията и металната сфера.

Б) За да провери верността на теоретичните пресмятания, един от космонавтите излиза в открития космос, като с помощта на два допълнителни проводника свързва волтметър между корпуса на совалката и металната сфера. Определете показанието на волтметъра. Можете да предположите, че вътрешното съпротивление на волтметъра е много по-високо от това на кабела.

В) Поради неуспех в първия експеримент, космонавта измерва магнитното поле в близост до кабела и установява, че по него тече ток $I = 0.5$ A! Обяснете качествено резултата от експеримента.

Г) Определете с колко намалява височината на орбитата на станцията при всяка обиколка, като следствие на протичащия по кабела електричен ток. Масата на станцията е $M = 105$ тона, а на сферата и кабела – пренебрежимо малка.

Отговори

Решение

Решение на Задача 2.

А) На височина $h$ , ускорението на свободно падане намалява по закона на „обратните квадрати“:

g(h) = g_0\left(\frac{R_0}{R_0+h}\right)^2

При движение по кръгова орбита, станцията има нормално ускорение равно на $g(h)$ . Оттук определяме скоростта на орбитално движение:

\frac{v^2}{R+h} = g(h) \Rightarrow v(h) = R_0\sqrt{\frac{g_0}{R_0+h}} = 7766\ \mathrm{m/s}

Тъй като дължината на кабела е много по-малка от радиуса на орбитата, можем да считаме, че всички точки от кабела се движат с еднаква скорост. Върху всеки свободен електрон от кабела, действа магнитна (Лоренцова) сила, насочена по неговата дължина:

F = evB

Работата, която извършва тази сила за пренос на единичен положителен заряд между корпуса на совалката и сферата е равна на търсеното ЕДН:

U = vBL = 7766\ \mathrm{V}

Б) При свързване на волтметъра към двата края на кабела, се образува затворена електрическа верига, която се „пронизва“ от постоянен магнитен поток. Следователно пълното ЕДН индуцирано във веригата е равно на нула и волтметъра не отчита напрежение.

В) Поради потенциалната разлика между корпуса и сферата, към тялото с по-висок потенциал се привличат свободни електрони, които проникват в метала, а към това с по-нисък потенциал – положителни йони от йоносферата. Положителните йони се неутрализират с електрони, при достигане на металната повърхност, което води до протичане на електричен ток през кабела.

Г) Върху кабела действа магнитна сила, която е перпендикулярна на неговата дължина и е насочена обратно на посоката на орбитално движение:

F = IBL.

За един оборот, тази сила извършва отрицателна работа: $A = -2\pi(R+h)F$ , която води до намаляване на пълната енергия на станцията:

E = mv^2/2 - GM_{\text{З}}M/(R_0+h) = -\frac{GM_{\text{З}}M}{2(R_0+h)} = -Mg_0\frac{R_0^2}{2(R_0+h)},

където $M_{\text{З}}$ е масата на Замята. Промяната на пълната енергия при промяна на височината с $\Delta h$ е приблизително равна на:

\Delta E = Mg_0\frac{R_0^2}{2(R_0+h)^2}\Delta h.

Тъй като $\Delta E = A$ , промяната на височината е:

\Delta h = -\frac{4\pi IBL(R_0+h)^3}{Mg_0R_0^2} \approx -\frac{4\pi IBLR_0}{Mg_0} = -\,0{,}389\ \mathrm{m}

т.е. височината на орбитата намалява с около 39 сантиметра при всяка обиколка около Земята.

Оригинал в Архива: esenni_2000_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2000_STsolutions.pdf