Съдържание

НЕСФ 2000, Специална тема — Задача 3. Разсейване на светлина от молекули

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2000

Регионално състезание по физика, Плевен, 2-3.12.2000 г — Тема по програмата на Международната Олимпиада по физика · 2 декември 2000 г.

Условие

Молекулата на азота $\mathrm{N_2}$ може да бъде разглеждана като две точкови маси (атоми на азота), свързани с пружина с коефициент на еластичност $k = 1440$ N/m. Масата на азотния атом е $m = 2{,}33 .10^{-26}$ kg.

Упътване: При разглежданите в задачата енергии, можете да пренебрегнете импулса, който получава молекулата при взаимодействие с фотона.

Данни:

Скорост на светлината във вакуум, $c = 3{,}00.10^8$ m/s
Константа на Планк, $h = 6{,}63.10^{-34}$ J.s

Оптична схема: източник N2, успореден сноп към решетка D, леща L и екран E с максимумите от първи порядък. — Фигура 2. Разсеяната от азотните молекули светлина пада нормално върху дифракционната решетка D, преминалата светлина се фокусира от лещата L върху екрана E.

А) Двата атома могат да извършват трептене около центъра на масите на молекулата. Определете неговата честота.

Б) Каква е минималната енергия на фотон $E\mathrm{min}$ , изразена в електронволти (eV), който е в състояние да възбуди трептене на молекулата при взаимодействие с нея? На светлина, с каква дължина на вълната съответства тази енергия? Към коя област на спектъра се отнася тази дължина на вълната

В) При взаимодействие на светлина с молекулата са възможни два процеса:

Еластично разсейване, при което падащия фотон изменя направлението си на движение, без да променя честотата си.
Нееластично разсейване, при което фотона променя своята енергия и направление на движение, като предизвиква трептене на молекулата.

Ако азотни молекули се облъчват с монохроматична светлина, с дължина на вълната $\lambda = 500$ nm, определете разликата в дължините на вълната $\Delta\lambda$ , за фотони претърпели нееластично и еластично разсейване съответно.

Г) Успореден сноп светлина, получен след разсейване от азотни молекули пада нормално върху дифракционна решетка D, с константа $d = 1$ $\mu$ m. Преминалата през решетката светлина, се фокусира с помощта на леща L, с фокусно разстояние $f = 10$ cm върху екран E (Фигура 2.). Какво е разстоянието между максимумите от първи порядък, които съответстват на еластично и нееластично разсеяна светлина?

Отговори

Решение

Решение на Задача 3.

А) Тъй като центъра на масите на молекулата е неподвижен, максималното удължение на пружината е $\Delta l = 2A$ , където $A$ е амплитудата на трептене на отделните атоми. Максималната потенциална енергия на трептенето е съответно: $E_{p\ max} = k(2A)^2/2 = 2kA^2$ . Максималната кинетична енергия е $E_{\text{к}\ max} = 2\times m(v_{max})^2/2 = m(2\pi\nu A)^2$ . Тъй като $E_{p\ max} = E_{\text{к}\ max}$ , можем да определим честотата:

\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} = 5{,}59.10^{13}\ \mathrm{Hz}.

Б) Енергията на хармоничния осцилатор може да се променя само с точно определени порции (кванти), които се дават с формулата на Планк:

E_{min} = h\nu = 3{,}71.10^{-20}\ \mathrm{J} = 0{,}232\ \mathrm{eV}.

Това е минималната енергия, която трябва да притежава фотон, така че да възбуди молекулно трептене. Съответната дължина на вълната е:

\lambda_{max} = c/\nu = 5{,}37.10^{-6}\ \mathrm{m}.

Тази дължина на вълната съответства на инфрачервена светлина.

В) При дължина на вълната $\lambda = 500$ nm $= 5.10^{-7}$ m, енергията на фотона е по-голяма от минималната и следователно е възможен процес на нееластично разсейване. При еластично разсейване: $\lambda_e = \lambda$ . При нееластично разсейване е изпълнен закона за запазване на енергията:

hc/\lambda = E_{min} + hc/\lambda_{\text{н}}

(По условие може да се пренебрегне енергията на постъпателно движение на молекулата). От последното съотношение получаваме:

\lambda_{\text{н}} - \lambda_e = \frac{\lambda_e\lambda_{\text{н}}E_{min}}{hc} \approx \frac{\lambda^2 E_{min}}{hc} = 4{,}66.10^{-8}\ \mathrm{m} = 46{,}6\ \mathrm{nm}

г) Максимум от първи порядък за светлина с дължина на вълната $\lambda$ се получава под ъгъл $\theta$ , който удовлетворява съотношението:

\sin(\vartheta) = \lambda/d

При $\lambda = 500$ nm, $\theta = 30^\circ$ . За две спектрални линии с малка разлика в дължините на вълната $\Delta\lambda \ll \lambda$ , се получава разлика в ъглите $\Delta\theta$ , такава че $\cos(\theta)\Delta\theta = \Delta\lambda/d$ . Разстоянието от даден максимум до центъра на интерференчната картина е равно на $x = f\tan(\theta)$ а между двата съседни максимума, съответно:

\Delta x = f\frac{\Delta\theta}{\cos^2\theta} = \frac{f\Delta\lambda}{d\cos^3\theta} = 7{,}17.10^{-3}\ \mathrm{m} \approx 7\ \mathrm{mm}

Оригинал в Архива: esenni_2000_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2000_STsolutions.pdf