НЕСФ 2001, Специална тема — Задача 4

Национално есенно състезание по физика 2001, Специална тема (В. Търново) · 120 т.

Условие

Свободна микрочастица с маса в покой $m_0$ извършва праволинейно движение по посока на оста Ох.

Указание: При решаването на задачата използвайте следната формула

$(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x,\quad (|x| \ll 1).$

Константата на Планк е $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$.

а/ да се определи вълната $\psi$, получена от наслагването на две вълни на дьо Бройл на частицата, съответствуващи на нейни скорости с големини $v - \Delta v$ и $v + \Delta v$, където величината $\Delta v$ е такава, че $\dfrac{|\Delta v|}{v} \ll 1$;

б/ Аргументът на по-бързо променящия се множител на $\psi$ разглеждаме като фаза на вълната $\psi$, а другият множител – като модулираща функция. По-малка или по-голяма от скоростта на светлината във вакуум $c$ е фазовата скорост на вълната $\psi$, т.е. скоростта, с която се движат геометричните места на точки с една и съща фаза? Какво означава получения резултат?

в/ Скоростта $v_g$, с която се движат максимумите на модулиращата функция се нарича групова скорост на вълната $\psi$. Да се определи $v_g$ с точност до величина от порядъка на $\dfrac{|\Delta v|}{v}$;

г/ Нека микрочастицата е нерелативистка и в началния момент $t = 0$ тя и локализирана в област с ширина $\Delta x(0)$. Тогава се казва, че частицата се описва с вълнов пакет $\psi(x,t)$, който е суперпозиция на вълни но дьо Бройл и в момента $t$ практически е отличен от 0 само в област с ширина $\Delta x(t)$. Да се определи функцията $\Delta x(t)$. Каква функция на времето е тя? Ако $m_0 = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$, а $\Delta x(0) = 10^{-10}\ \mathrm{m}$, каква е ширината на пакета на частицата в момента $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$ ?

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2001_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2001_STsolutions.pdf