НЕСФ 2002, 8. клас — Задача 1. Трупче и камък в солена вода

• а) $\rho_\mathrm{т} = \frac{2}{3}\rho_\mathrm{в} = 700\ \mathrm{kg/m^3}$
• б) $m = M/5 = 0{,}3\ \mathrm{kg}$
• в) $\rho_\mathrm{к} = \frac{m}{V_\mathrm{к}} = \frac{8}{3}\rho_\mathrm{в} = 2800\ \mathrm{kg/m^3}$

а) Означаваме с $V$ обема на трупчето. От закона на Архимед и от условието за плаване на трупчето следва равенството $\frac{2}{3}g\rho_\mathrm{в}V = g\rho_\mathrm{т}V$, откъдето определяме $\rho_\mathrm{т} = \frac{2}{3}\rho_\mathrm{в}$ [2 точки]; $\rho_\mathrm{т} = 700\ \mathrm{kg/m^3}$ [1 точка].

б) Когато камъкът е върху трупчето, условието за плаване се изразява с равенството $(M+m)g = \frac{4}{5}\rho_\mathrm{в}gV = \frac{6}{5}Mg$, където сме отчели, че $\rho_\mathrm{в}gV = \frac{3}{2}\rho_\mathrm{т}gV = \frac{3}{2}Mg$. Масата на камъка е $m = M/5 = 0{,}3\ \mathrm{kg}$ [3 точки].

в) Условието за плаване, когато камъкът е завързан под трупчето, е $(M+m)g = \frac{3}{4}\rho_\mathrm{в}gV + \rho_\mathrm{в}gV_\mathrm{к}$, където $V_\mathrm{к}$ е обемът на камъка. Заместваме $M = 5m$, $\rho_\mathrm{в}gV = \frac{3}{2}Mg$ и изразяваме $V_\mathrm{к} = \frac{3m}{8\rho_\mathrm{в}}$. Плътността на камъка е $\rho_\mathrm{к} = \frac{m}{V_\mathrm{к}} = \frac{8}{3}\rho_\mathrm{в} = 2800\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ [4 точки].