Съдържание

НЕСФ 2003, Специална тема — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2003

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално есенно състезание по физика · Стара Загора, 28 – 30 ноември 2003 г · Специална тема · 28 ноември 2003 г.

Внимание: Бележка към темата

Скани от 2000-те с влошен текстов слой; някои формули в решенията са възстановени по контекст.

Условие

От долната страна на прозрачна пластмасова пластинка с показател на пречупване $n = 1.600$ е залепена хартия на която има редуващи се ивици от две картинки – А и В. Ширината на ивиците е $d = 200\ \mu\mathrm{m}$ . Горната повърхност на пластинката е трионобразна (вълнообразна) и може да се представи като редуващи се леко наклонени плоски ивици, лежащи точно над ивиците от картинките А и Б. Дълбочината на релефа на горната повърхност е $a = 25\ \mu\mathrm{m}$ . Повърхността на пластинката се разглежда като бавно се върти около ос, перпендикулярна на чертежа. Приема се, че влизащите в окото лъчи са успоредни.

Схема на пластинка с трионообразна горна повърхност (дълбочина на релефа a), долни ивици, означени последователно A, B, A, B, A, B, с ширина d, дебелина h, показател на пречупване n и успоредни лъчи, излизащи под ъгъл φ.

а) Какъв е минималния ъгъл $\varphi_{min}$ (мерен спрямо нормалата на основата) [2 т] и дебелината $h$ на пластинката [3 т], при които се вижда само едната рисунка? Решете това подусловие, използвайки приближението $a \ll d$ . Приема се, че от двете страни на една изпъкналост на горната повърхност трябва да се вижда една и съща ивица от долната повърхност. [5 т.]

б) Оценете числено (с калкулатор) каква част от рисунката А ще се вижда “насложена” върху рисунката В, когато увеличавайки плавно ъгъла на гледане $\varphi$ от нула наляво, рисунката В ще се вижда най-добре за втори път? [3 т.]

в) Изчислете колко е общият брой рисунки А и Б, които може да се видят, когато ъгълът на гледане са изменя от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ . [2 т.]

В подусловия б) и в) за стойността на $h$ да се използва намерената в подусловие а).

Отговори

Решение

Задача 3.

а) Нека ъгъл $\alpha$ е ъгълът, който наклонените ивици на горната повърхност сключват с хоризонталата. Следователно $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{a}{d}$ . При $a \ll d$ , $\mathrm{tg}\,\alpha \ll 1$ , $\mathrm{tg}\,\alpha \approx \alpha$ , $\alpha \approx \frac{a}{d}$ . Нека лъч се движи в пластинката, сключвайки ъгъл $\gamma$ с вертикалата, а излизайки отгоре сключва ъгъл $\varphi$ с вертикалата. Нека той пресича пластинката в точка разположена над ивица В. Тогава от закона на Снелиус се получава

\frac{\sin(\varphi + \alpha)}{\sin(\beta + \alpha)} = n. \qquad (1)

Ъгълът $\varphi$ е минимален, когато ъгълът $\beta = 0$ . Тогава от ивицата, разположена над рисунка В, под ъгъл $\varphi_{min}$ ще се вижда рисунка В. От (1) получаваме

\frac{\sin(\varphi_{min} + \alpha)}{\sin(\alpha)} = n \approx \frac{\varphi_{min} + \alpha}{\alpha}, \quad \varphi_{min} = (n-1)\alpha = (n-1)\frac{a}{d}.

Забележете, че $\varphi_{min} < \alpha$ . Числената стойност ще бъде

\varphi_{min} = \frac{(1.6 - 1) \cdot 25}{200} = 0.075\ \mathrm{rad} = 4.297^{\circ}

За да се вижда само рисунката В и от ивицата, разположена над ивица А, трябва лъчите пресичащи тази ивица, да се движат вътре в пластинката под ъгъл $\beta_1$ , удовлетворяващ условията

\frac{\sin(\alpha - \varphi)}{\sin(\alpha - \beta_1)} = n \qquad (2)

\mathrm{tg}\,\beta_1 = \frac{d}{h + a} \qquad (3)

Тъй като $\alpha - \varphi \ll 1 \Rightarrow \alpha - \beta_1 \ll 1 \Rightarrow \beta_1 \ll 1$ . Следователно

\mathrm{tg}\,\beta_1 = \frac{d}{h + a} \approx \beta_1 \approx \frac{d}{h} \qquad (4)

От (2) получаваме

\beta_1 = \frac{2(n-1)\alpha}{n} = 0{,}09375\ \mathrm{rad} = 5{,}371^{\circ} \qquad (5)

От (4) и (5) се получава

h = \frac{d}{\beta_1} = 2133\ \mu\mathrm{m} \qquad (6)

б) Нека предположим, че сноп лъчи, излизащи от ивица, разположена над рисунка В, идват от рисунка В и тя се вижда най-добре за втори път. Това означава, че лъчите вътре в пластинката сключват ъгъл $\beta_2$ с вертикалата, който се определя от следното условие

\mathrm{tg}\,\beta_2 = \frac{2d}{h}. \qquad (7)

При дадено $d = 200\ \mu\mathrm{m}$ и изчислено в подусловие а) $h = 2133\ \mu\mathrm{m}$ , получаваме за $\beta_2 = 10{,}621^{\circ}$ . Прилагайки закона на Снелиус от уравнение (1) намираме ъгъла $\varphi_2$ , под който лъчите излизат от пластинката

\frac{\sin(\varphi_2 + \alpha)}{\sin(\beta_2 + \alpha)} = n, \quad \alpha = \mathrm{arctg}\,\frac{a}{d} = 7.125^{\circ}, \quad \varphi_2 = \arcsin[n \sin(\beta_2 + \alpha)] - \alpha = 22{,}063^{\circ} \qquad (8)

Под същия ъгъл $\varphi_2$ трябва да излизат лъчите и от ивицата, разположена над рисунка А. Това означава, че те ще се движат вътре в пластинката под ъгъл $\beta_2$ , определен от условието

\frac{\sin(\varphi_2 - \alpha)}{\sin(\beta_2 - \alpha)} = n. \text{ Следователно } \beta_2 = \arcsin\left[\frac{\sin(\varphi_2 - \alpha)}{n}\right] + \alpha = 15{,}396^{\circ}. \qquad (9)

Така можем да получим от каква част на основата идват лъчите, излизащи от ивица, разположена над рисунка А. Нека най-десния лъч на снопа идва от основата от точка, отместена надясно на разстояние $x$ . Тогава

\frac{x}{h + a} = \mathrm{tg}\,\beta_3, \quad x = (h + a)\,\mathrm{tg}\,\beta_3 = 635\ \mu\mathrm{m}. \qquad (10)

Разделяйки това отместване на ширината на ивиците $d$ получаваме, че лъчът ще идва от точка, отместена на $3{,}175d$ . Следователно, докато първият сноп идва изцяло от рисунка В, вторият сноп ще дава 0.175 части от рисунка А и 0,825 части от рисунка В.

в) Когато ъгълът на гледане е максимален и равен на $90^{\circ}$ , лъчът вътре ще се движи под ъгъл $\beta_{max}$ , определен от условието

\frac{\sin(90 - \alpha)}{\sin \beta_{max}} = n. \text{ Оттук се получава } \beta_{max} = 38.329^{\circ}. \qquad (11)

При такъв ъгъл лъчът ще идва от точка от основата, отместена на разстояние $x = kd$ , като

\frac{x}{h + a} = \mathrm{tg}\,\beta_{max}. \text{ Оттук се получава за } k \qquad (12)

k = \frac{(h + a)\,\mathrm{tg}\,\beta_{max}}{d} = 8{,}53. \qquad (13)

Следователно ще се наблюдават последователно 8 рисунки. От другата страна броят ще е същия и общия брой ще бъде 16.

Оригинал в Архива: esenni_2003_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2003_STsolutions.pdf