Съдържание

НЕСФ 2004, Специална тема — Задача 2. Уитстонов мост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2004

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 26 – 28 ноември 2004 г., Специална тема · 26 ноември 2004 г. · 10 т.

Условие

Уитстоновият мост е електрична схема, с която може да се мери неизвестно съпротивление. Пет съпротивления $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и $R_5$ ( $R_5$ е вътрешното съпротивление на амперметъра) са включени към източник на постоянно напрежение с електродвижещо напрежение $E$ , както е показано на Фиг. 2

Уитстонов мост: правоъгълна верига с върхове A и D; горното рамо съдържа R1 и R3, свързани във възел B; долното рамо съдържа R2 и R4, свързани във възел C; между B и C са включени последователно амперметър A и съпротивление R5; източникът с електродвижещо напрежение E е включен под възел C. — Фиг. 2

а) Нека $R_2 = 100\ \Omega$ , $R_3 = 300\ \Omega$ и $R_4 = 200\ \Omega$ . При каква стойност на съпротивлението $R_1$ , токът $I_5$ , минаващ през съпротивлението $R_5$ , ще бъде нула (в това състояние Уитстоновият мост се нарича балансиран)? [1 т.]

б) Намерете стойнос та на тока $I_5$ , минаващ през съпротивлението $R_5$ , при произволни стойности на съпротивленията $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и $R_5$ и електродвижещото напрежение $E$ . [5 т.]

в) Нека $R_1$ е неизвестно съпротивление и Уитстоновият мост, в рамките на експерименталната грешка, е балансиран чрез промяна на съпротивлението $R_3$ . Приемете, че $R_5$ е много по-малко от останалите съпротивления във веригата ( $R_5 \ll R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ ). Максималният ток, при който амперметърът все още показва нула (чувствителността на амперметъра), е $I_{5\max}$ . Всички съпротивления с изключение на неизвестното $R_1$ са известни с голяма точност и $R_2 = R_4$ . Намерете формула за относителната грешка $\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1}$ , с която може да се определи стойността на $R_1$ и я пресметнете за следните стойности: $I_{5\max} = 1\ \mu A$ , $E = 2\ V$ , $R_2 = R_3 = R_4 = 10\ k\Omega$ [2 т.]

г) Нека $R_1$ е неизвестното съпротивление и Уитстоновият мост, в рамките на експерименталната грешка, е балансиран чрез промяна на съпротивлението $R_3$ . Приемете, че $R_5 = 500\ \Omega$ и е много по-голямо от останалите съпротивления във веригата ( $R_5 \gg R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ ). Максималният ток, при който амперметърът все още показва нула, е $I_{5\max}$ . Всички съпротивления с изключение на неизвестното $R_1$ са известни с голяма точност и $R_2 = R_4$ . Получете формула за относителната грешка $\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1}$ , с която може да се намери стойността на $R_1$ и я пресметнете за следните стойности: $I_{5\max} = 1\ \mu A$ , $E = 2\ V$ , $R_2 = R_3 = R_4 = 10\ \Omega$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Нека означим токовете, течащи през съпротивленията $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и $R_5$ съответно с $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ и $I_5$ . Когато токът $I_5$ е нула, $I_1 = I_3$ и $I_2 = I_4$ . Ако изразим тези токове от закона на Ом, получаваме:

\frac{U_{AB}}{R_1} = \frac{U_{BD}}{R_3} \quad \text{и} \quad \frac{U_{AC}}{R_2} = \frac{U_{CD}}{R_4}

Тъй като потенциалите на точка C и точка D в този случай са равни, следва че $U_{AB} = U_{AC}$ и $U_{BD} = U_{CD}$ . Разделяйки горните уравнения и съкращавайки равните напрежения, получаваме

\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} \quad \text{или} \quad R_1 = R_3\frac{R_2}{R_4}

При зададените стойности за съпротивленията се получава: $R_1 = \frac{300\,\Omega\ 100\,\Omega}{200\,\Omega} = 150\,\Omega$ [1 т]

б) Нека токовете $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ и $I_5$ , течащи през съпротивленията $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и $R_5$ , имат посоки, както са означени на Фиг 1. Тъй като имаме 5 неизвестни (токовете), трябва да използваме 5 независими уравнения, които могат да се получат от законите (правилата) на Кирхоф. Нека те да са следните:

I_3 = I_1 + I_5 \qquad \text{(първо правило приложено за точка B)} \qquad \text{(15а)}

I_2 = I_4 + I_5 \qquad \text{(първо правило приложено за точка C)} \qquad \text{(15б)}

R_1I_1 - R_2I_2 - R_5I_5 = 0 \qquad \text{(второ правило приложено за контура BAC)} \qquad \text{(15в)}

R_3I_3 + R_5I_5 - R_4I_4 = 0 \qquad \text{(второ правило приложено за контура DBC)} \qquad \text{(15г)}

R_4I_4 + R_2I_2 = E \qquad \text{(второ правило приложено за контура DCAE)} \qquad \text{(15д)}

Тази система от 5 уравнения с 5 неизвестни решаваме чрез последователно елиминиране на неизвестните. Първо от (15а) елиминираме тока $I_3$ :

I_3 = I_1 + I_5 \qquad \text{(16а)}

I_2 = I_4 + I_5 \qquad \text{(16б)}

R_1I_1 - R_2I_2 - R_5I_5 = 0 \qquad \text{(16в)}

R_3(I_1 + I_5) + R_5I_5 - R_4I_4 = 0 \qquad \text{(16г)}

R_4I_4 + R_2I_2 = E \qquad \text{(16д)}

След това от (16б) елиминираме тока $I_2$ :

I_2 = I_4 + I_5 \qquad \text{(17б)}

R_1I_1 - R_2(I_4 + I_5) - R_5I_5 = 0 \qquad \text{(17в)}

R_3I_1 + (R_5 + R_5)I_5 - R_4I_4 = 0 \qquad \text{(17г)}

R_4I_4 + R_2(I_4 + I_5) = E \qquad \text{(17д)}

След това от (17в) елиминираме тока $I_1$ :

I_1 = \frac{R_2I_4 + (R_2 + R_5)I_5}{R_1} \qquad \text{(18в)}

R_3\frac{[R_2I_4 + (R_2 + R_5)I_5]}{R_1} + (R_3 + R_5)I_5 - R_4I_4 = 0 \qquad \text{(18г)}

(R_4 + R_2)I_4 + R_2I_5 = E \qquad \text{(18д)}

Опростявайки уравнение (18г) се получава:

(R_2R_3 - R_1R_4)I_4 + (R_1R_3 + R_1R_5 + R_2R_3 + R_3R_5)I_5 = 0 \qquad \text{(19г)}

От уравнение (18д) може да се изрази тока $I_4$ :

I_4 = \frac{E - R_2I_5}{R_2 + R_4} \qquad \text{(19д)}

Замествайки $I_4$ от (19д) в (19г) след опростяване се получава:

I_5 = \frac{(R_2R_3 - R_1R_4)E}{R_1R_2R_3 + R_1R_2R_4 + R_1R_3R_4 + R_2R_3R_4 + R_1R_2R_5 + R_2R_3R_5 + R_3R_4R_5 + R_4R_1R_5} \qquad \text{(20г)} \qquad \textbf{[5 т]}

в) При идеално балансиран Уитстонов мост ( $I_5 = 0$ ) съгласно получения резултат в подусловие а), стойността на неизвестното съпротивление е

R_{1\text{идеално}} = \frac{R_2R_3}{R_4} \qquad \text{(20)}

На практика, обаче, токът през амперметъра никога не е точно нула, а е само по-малък от чувствителността на амперметъра ( $I_5 \ll I_{5\max}$ ). В този случай стойността на съпротивлението $R_1$ ще се различава от $R_{1\text{идеално}}$ с $\Delta R_1$ :

R_1 = R_{1\text{идеално}} + \Delta R_1 \qquad \text{(21)}

равенство (20г) може да се представи във вида

I_5 = \frac{(R_2R_3 - R_1R_4)E}{R_1R_2R_3 + R_1R_2R_4 + R_1R_3R_4 + R_2R_3R_4 + (R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_4 + R_4R_1)R_5} \qquad \text{(22)}

Тъй като в този случай $R_5 \ll R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ , равенство (22) се опростява до

I_5 = \frac{(R_2R_3 - R_1R_4)E}{R_1R_2R_3 + R_1R_2R_4 + R_1R_3R_4 + R_2R_3R_4} \qquad \text{(23)}

Замествайки в (23) $R_1$ с резултата от (21) и (20), и отчитайки, че $R_2 = R_4$ се получава:

I_5 = \frac{[R_2R_3 - (R_3 + \Delta R_1)R_2]E}{(R_3 + \Delta R_1)R_2R_3 + (R_3 + \Delta R_1)R_2^{\,2} + (R_3 + \Delta R_1)R_3R_2 + R_2^{\,2}R_3} \qquad \text{(24)}

Ако допуснем, че $\Delta R_1 \ll R_1$ (което е естествено за точен експеримент)

I_5 \approx -\frac{\Delta R_1R_2E}{R_2R_3^{\,2} + R_3R_2^{\,2} + R_3^{\,2}R_2 + R_2^{\,2}R_3} = -\frac{\Delta R_1E}{2(R_2 + R_3)R_3} \qquad \text{(25)}

Следователно относителната грешка е

\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1} \approx \frac{\Delta R_1}{R_3} = \frac{2(R_2 + R_3)I_{5\max}}{E} \qquad \text{(26)}

При зададените стойности на величините се получава.

\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1} = \frac{2(10k\Omega + 10k\Omega)10^{-6}A}{2V} = 0{,}02 = 2\% \qquad \textbf{[2 т]} \qquad \text{(30)}

г) В това подусловие разсъждавайки по същия начин като в подусловие в), но отчитайки сега, че съпротивлението на амперметъра е много по-голямо от останалите съпротивления във веригата ( $R_5 \gg R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ ) равенство (22) се опростява до:

I_5 = \frac{(R_2R_3 - R_1R_4)E}{(R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_4 + R_4R_1)R_5} \qquad \text{(31)}

Отчитайки отново (21) и (20), и отчитайки, че $R_2 = R_4$ , равенство (31) се преобразува до:

I_5 = \frac{[R_2R_3 - (R_3 + \Delta R_1)R_2]E}{[(R_3 + \Delta R_1)R_2 + R_2R_3 + R_3R_2 + R_2(R_3 + \Delta R_1)]R_5} \approx -\frac{\Delta R_1R_2E}{4R_2R_3R_5} = \frac{\Delta R_1E}{4R_3R_5} \qquad \text{(32)}

Следователно относителната грешка е

\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1} \approx \frac{\Delta R_1}{R_3} = \frac{4R_5I_{5\max}}{E} \qquad \text{(33)}

При зададените стойности на величините се получава

\varepsilon = \frac{\Delta R_1}{R_1} \approx \frac{4\cdot 500\Omega\ 10^{-6}A}{2V} = 0{,}001 = 0{,}1\% \qquad \textbf{[2 т]} \qquad \text{(34)}

Същият Уитстонов мост, но с означени посоки на токовете: I1 през R1 от възел B към A, I3 през R3 от D към B, I2 през R2 от възел C към A, I4 през R4 от D към C, I5 през амперметъра и R5 от B към C; двете стрелки в кръг показват избраните обхождания на контурите BAC и DBC; източникът E е под възел C. — Фиг 1

Оригинал в Архива: esenni_2004_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2004_STsolutions.pdf