Съдържание

НЕСФ 2004, Специална тема — Задача 3. Слънце

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2004

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 26 – 28 ноември 2004 г., Специална тема · 26 ноември 2004 г. · 10 т.

Условие

Полезна математика: Ако $x \ll 1$ , то $\sin x \approx x$ и $\sqrt{1 - x^{2}} \approx 1 - \frac{x^{2}}{2}$

а) Слънчева константа ( $A$ ) се нарича енергията на слънчевото лъчение, падаща на Земята за единица време и на единица площ. Нека $A = 1400\ W/m^{2}$ . Намерете температурата на слънчевата повърхност (ако допуснете, че тя излъчва като идеално черно тяло). Константата на Стефан-Болцман е $\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \frac{W}{m^{2}K^{4}}$ . Разстоянието Земя-Слънце е $a = 150.10^{6}\ km$ . Радиусът на Слънцето е $R_C = 6{,}96.10^{8}\ m$ . [3 т.]

б) Ако Слънцето излъчва по един и същ начин в продължение на 1 милиард години, намерете относителната промяна на масата на Слънцето $\frac{\Delta M}{M}$ вследствие на излъчената от него енергия. Началната маса на Слънцето е $M_C = 2.10^{30}\ kg$ . За стойността на температурата на повърхността на Слънцето използвайте получената от подусловие а). [2 т.]

в) Приемете, че Слънцето е съставено само от водород и хелий, като масовата концентрация на водорода $n_H = 75\%$ . След последователност от ядрени реакции, четири ядра водород ( $^{1}_{1}H$ ) се превръщат в едно ядро хелий ( $^{4}_{2}He$ ), при което се отделя 26,7 MeV енергия. Ако Слънцето излъчва по един и същ начин благодарение на по-горе описаната реакция, намерете масовата концентрация на водорода след 10 милиарда години. Масата на протона е $m_p = 1{,}67.10^{-27}\ kg$ . За стойността на температурата на повърхността на Слънцето използвайте получената от подусловие а). [3 т.]

г) Звезда с радиус, равен на слънчевия и период на въртене $T_{\text{З}} = 25$ дни, но с по-голяма маса, завършва своя живот като неутронна звезда (пулсар, много плътен и бързо въртящ се обект). Ако неутронната звезда излъчва радиоимпулси с период на повторение $T_{\text{Н}} = 1\ ms$ , съвпадащ с периода на въртене на пулсара, намерете нейния радиус. Приемете плътността на неутронната звезда и на звездата – неин предшественик, за независещи от радиусите им. Масите им също приемете за равни. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Ако допуснем, че слънчевата повърхност излъчва като идеално черно тяло, то излъчената от нея енергия от единица площ за единица време съгласно закона на Стефан-Болцман ще бъде

\frac{\Delta E}{\Delta S\Delta t} = \sigma T^{4} \qquad \text{(35)}

а от цялата слънчева повърхност излъчената мощност ще бъде

\frac{\Delta E}{\Delta t} = \sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2} \qquad \text{(36)}

Тази мощност равномерно се разпределя на сфера с радиус разстоянието Земя-Слънце $a$ . Следователно падащата мощност на единица площ на Земята (т.е. Слънчевата константа $A$ ) ще бъде

A = \frac{\sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2}}{4\pi a^{2}} = \frac{\sigma T^{4}R_C^{\,2}}{a^{2}} \qquad \text{(37)}

Така за температурата на повърхността на Слънцето се получава

T = \left(\frac{Aa^{2}}{\sigma R_C^{\,2}}\right)^{\frac{1}{4}} \qquad \text{(38)}

След заместване се получава

T = \left(\frac{1400\frac{W}{m^{2}}.150^{2}.10^{18}m^{2}}{5{,}67.10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}}.6{,}96^{2}.10^{16}m^{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \approx 5800K \qquad \textbf{[3 т]} \qquad \text{(39)}

б) Съгласно формулата на Айнщайн

E = mc^{2}, \qquad \text{(40)}

всяко тяло, което излъчва енергия, губи от своята маса. Използвайки тази формула, получаваме:

\frac{\Delta M}{M_C} = \frac{\Delta E}{c^{2}M_C} = \frac{\sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2}t}{c^{2}M_C} \qquad \text{(41)}

Използвайки (38) зг $T$ , можем да представим отговора и в друг вид:

\frac{\Delta M}{M_C} = \frac{\sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2}t}{c^{2}M_C} = \frac{\sigma\frac{Aa^{2}}{\sigma R_C^{\,2}}4\pi R_C^{\,2}t}{c^{2}M_C} = \frac{4\pi Aa^{2}t}{c^{2}M_C} \qquad \text{(42)}

Замествайки с дадените стойности получаваме:

\frac{\Delta M}{M_C} = \frac{4\pi Aa^{2}t}{c^{2}M_C} = \frac{4.3{,}14.1400\frac{W}{m^{2}}.150^{2}10^{18}m^{2}.10^{9}.365.24.3600s}{3^{2}10^{16}\frac{m^{2}}{s^{2}}2.10^{30}kg} = 6{,}9.10^{-5} \qquad \textbf{[2т]} \qquad \text{(43)}

Важният извод, който може да се направи е, че една звезда по време на своя живот променя малко своята маса. С други думи масата на звездата е един от параметрите (константите), които определят нейното развитие.

в) Нека с $N_H$ бележим броя водородни атоми в Слънцето. Следователно масовата концентрация на водорода в Слънцето е (ако приемем че масата на водорода е приблизително равна на масата на протона):

n_H = \frac{N_Hm_p}{M_C} \qquad \text{(44)}

Поради излъчването, за време $t$ броят на водородните атоми ще намалее с

\Delta N_H = \frac{4E}{E_H} \qquad \text{(45)}

където $E_H$ е енергията отделена при превръщането на 4 протона в ядро хелий, а $E$ е излъчената енергия за време $t$ . Следователно след време $t$ водородната концентрация ще бъде

n_H' = \frac{N_H'm_p}{M_C} = \frac{(N_H - \Delta N_H)m_p}{M_C} = \frac{\left(N_H - \frac{4E}{E_H}\right)m_p}{M_C} = n_H - \frac{4\sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2}tm_p}{M_CE_H} \qquad \text{(46)}

Замествайки с дадените стойности, получаваме

n_H' = n_H - \frac{4\sigma T^{4}4\pi R_C^{\,2}tm_p}{M_CE_H} = 0{,}75 - \frac{4.5{,}67.10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}}5800^{4}K^{4}\ 4.3{,}14\ 6{,}96^{2}\ 10^{16}m^{2}.10.10^{9}.365.24.3600s\ 1{,}67.10^{-27}kg}{2.10^{30}kg.26{,}7.10^{6}.1{,}6.10^{-19}J} = 0{,}75 - 0{,}096 \approx 0{,}65 = 65\% \qquad \textbf{[3 т]} \qquad \text{(47)}

г) При свиването на звездата, нейния инерчен момент намалява, в резултат на което ъгловата скорост силно нараства. При постоянна плътност инерчният момент на кълбо е пропорционален на квадрата на радиуса на кълбото: $I \propto r^{2}$ или $I = kr^{2}$ (за кълбо $k = 2/5$ , но конкретната стойност не е нужна за решението). Следователно, използвайки закона на запазване на момента на импулса, получаваме:

I_{\text{З}}\omega_{\text{З}} = I_{\text{Н}}\omega_{\text{Н}} \quad \text{или} \quad kr_{\text{З}}^{\,2}\frac{2\pi}{T_{\text{З}}} = kr_{\text{Н}}^{\,2}\frac{2\pi}{T_{\text{Н}}} \qquad \text{(48)}

След съкращаване се получава:

r_{\text{Н}} = r_{\text{З}}\sqrt{\frac{T_{\text{Н}}}{T_{\text{З}}}} \qquad \text{(49)}

Замествайки с дадените стойности, получаваме

r_{\text{Н}} = 6{,}96.10^{8}m\sqrt{\frac{10^{-3}s}{25.24.3600s}} \approx 15\ km \qquad \textbf{[2 т]} \qquad \text{(50)}

Оригинал в Архива: esenni_2004_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2004_STsolutions.pdf