Съдържание

НЕСФ 2005, 11–12 клас — Задача 2. Електроннолъчева тръба

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2005

Национално есенно състезание по физика 2005, тема за 11. – 12. клас · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

В елктроннолъчева тръба електроните се отделят от нагретия катод К, преминават през анода А (метална тръбичка, свързана към положителния полюс на източника) и попадат върху екрана Е (вж. фиг. 2). Анодът е заземен, а потенциалът на катода е $\varphi_\text{К} = -8000\ \mathrm{V}$ . Между анода и екрана е разположена намотка, която създава еднородно магнитно поле, насочено перпендикулярно на равнината на чертежа. Магнитното поле е съсредоточено в област с кръгово напречно сечение и радиус $a = 2\ \mathrm{cm}$ .

Схема на електроннолъчева тръба: катод K, анод A със заземяване, пунктирана ос на електронния сноп, кръгова област с център O и радиус a, отклонен сноп под ъгъл тета и екран E. — Фиг. 2. Електроннолъчевата тръба: катод К, заземен анод А, кръгова област с радиус $a$ и център $O$ , в която е съсредоточено магнитното поле, и екран Е; отклоненият сноп сключва ъгъл $\theta$ с първоначалната посока.

а) Пресметнете скоростта $v$ , с която електроните попадат в областта с магнитно поле. Приемете, че електроните се отделят от катода с нулева начална скорост. [3,5 т.]

б) Преди електроните да навлезат в магнитното поле, скоростта им е насочена към центъра $O$ на областта. При каква индукция $B$ на магнитното поле, след излизане от областта, те ще се движат под ъгъл $\theta = 60^\circ$ спрямо първоначалната си посока на движение? [4 т.]

в) За какво време $t$ електронът преминава областта с магнитно поле при този ъгъл на отклонение $\theta$ ? [2,5 т]

Полезни константи: Елементарен електричен заряд, $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; Маса на електрона, $m = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ . [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) При отделяне от катода електронът има нулева кинетична енергия и потенциална енергия: $W_1 = (-e)\varphi_\text{К}$ [1 т]

След като достигне анода, електронът има нулева потенциална енергия (анодът е заземен) и кинетична енергия $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$ . От закона за запазване на енергията следва:

\frac{mv^2}{2} = (-e)\varphi_\text{К}.

[1 т]

Следователно скоростта на електрона е:

v = \sqrt{\frac{2e|\varphi_\text{К}|}{m}}

[1 т]

или $v = 5{,}3.10^{7}\ \mathrm{m/s}$ . [0,5 т]

б) В еднородно магнитно поле електронът се движи по дъга от окръжност. От II принцип на Нютон следва:

\frac{mv^2}{R} = evB,

[1 т]

където $R$ е радиусът на окръжността. Следователно:

R = \frac{mv}{eB}

[0,5 т]

Означаваме с $O'$ центъра на кръговата орбита, с $A$ – точката, в която електронът влиза в магнитното поле, а с $A'$ – точката, от която излиза (фиг. 2). При излизане от областта, скоростта на електрона е насочена по правата $OA'$ , т. е. перпендикулярно на $O'A'$ . От чертежа следва, че:

\mathrm{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{a}{R},

Окръжност с център O, точка на влизане A вляво, център на орбитата O' отгоре, дъга през областта и изходяща скорост под ъгъл тета спрямо хоризонталната ос. — Фиг. 2. Геометрия на движението в магнитното поле: $A$ е входната точка, $O$ – центърът на областта, $O'$ – центърът на кръговата орбита; изходната скорост сключва ъгъл $\theta$ с първоначалната посока, а отбелязаният при $O'$ ъгъл между $O'A$ и $O'O$ е $\theta/2$ .

[1 т]

откъдето намираме:

B = \frac{mv}{ea}\,\mathrm{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)

[1 т]

или: $B = 8{,}7.10^{-3}\ \mathrm{T}$ . [0,5 т]

в) Дължината на дъгата, която електронът описва в магнитното поле е:

s = R\theta = \frac{a\theta}{\mathrm{tg}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)},

[1 т]

където $\theta = \pi/3$ е ъгълът на отклонение, изразен в радиани. Времето за преминаване през магнитното поле съответно е:

t = \frac{s}{v} = \frac{a\theta}{v\,\mathrm{tg}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)};

[1 т]

или $t = 6{,}8.10^{-10}\ \mathrm{s}$ . [0,5 т]

Оригинал в Архива: esenni_2005_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2005_11-12solutions.pdf