Съдържание

НЕСФ 2005, 11–12 клас — Задача 3. Мираж в пустинята

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2005

Национално есенно състезание по физика 2005, тема за 11. – 12. клас · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

а) Плътността на въздуха при температура $t_0 = 0\ ^\circ\mathrm{C}$ и нормално атмосферно налягане $p_0 = 1{,}013.10^5\ \mathrm{Pa}$ е $\rho_0 = 1{,}294\ \mathrm{kg/m^3}$ . Докажете, че плътността на въздуха при абсолютна температура $T$ и нормално атмосферно налягане се дава с формулата: $\rho = \dfrac{a}{T}$ , където $a$ е константа. Пресметнете стойността на $a$ с точност 3 значещи цифри. [4 т.]

б) Пътешественик се приближава към самотна палма сред пустинята (фиг. 3). Очите му се намират на височина $H_1 = 1{,}7\ \mathrm{m}$ над земната повърхност, а височината на палмата е $H_2 = 4{,}3\ \mathrm{m}$ . Температурата на въздуха е $t_1 = 30\ ^\circ\mathrm{C}$ , с изключение на тънък приземен слой, в който температурата е $t_2 = 50\ ^\circ\mathrm{C}$ . Атмосферното налягане е равно на $p_0$ . При какво минимално разстояние $L$ от палмата пътешественикът може да види огледалния й образ? [6 т]

Известно е, че показателят на пречупване $n$ на въздуха зависи от плътността му по формулата:

n = 1 + K\rho,

където $K = 2{,}30.10^{-4}\ \mathrm{m^3/kg}$ е константа. Приемете, че дебелината на слоя нагорещен въздух е много по-малка от височините на човека и палмата. [6 т.]

Ръчна рисунка: палма с височина H2 вляво и пътешественик с височина на очите H1 вдясно, разделени от разстояние L; надписи 30 °C за въздуха и 50 °C за приземния слой. — Фиг. 3. Пътешественикът с височина на очите $H_1$ и палмата с височина $H_2$ на разстояние $L$ ; въздухът е с температура 30 °C, а тънкият приземен слой – 50 °C.

Отговори

Решение

а) Определена маса въздух $m$ заема при температура $t_0 = 0\ ^\circ\mathrm{C}$ и нормално атмосферно налягане $p_0 = 1{,}013.10^5\ \mathrm{Pa}$ обем:

V_0 = \frac{m}{\rho_0}

[1 т]

При същото налягане и при някаква абсолютна температура $T$ това количество въздух заема обем $V$ такъв, че:

\frac{V}{V_0} = \frac{T}{T_0},

[1 т]

където $T_0 = 273\ \mathrm{K}$ е абсолютната температура, която съответства на $0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Следователно плътността на въздуха при температура $T$ и нормално атмосферно налягане е:

\rho = \frac{m}{V} = \frac{mT_0}{V_0T} = \frac{a}{T},

[1 т]

където:

a = \rho_0T_0 \approx 353\ \mathrm{kg.K/m^3}.

[1 т]

б) Показателят на пречупване на въздуха при абсолютна температура $T_1 = t_1 + 273 = 303\ \mathrm{K}$ е:

n_1 = 1 + \frac{Ka}{T_1},

[1 т]

а на нагорещения приземен слой с абсолютна температура $T_2 = t_2 + 273 = 323\ \mathrm{K}$ –

n_2 = 1 + \frac{Ka}{T_2}.

[1 т]

Тъй като $n_2 < n_1$ , лъчите, падащи върху нагорещения слой под ъгли по-големи от $\theta_0$ , такъв че:

\sin\theta_0 = \frac{n_2}{n_1},

[1 т]

търпят пълно вътрешно отражение. От фиг. 3 се вижда, че минималното разстояние $L$ , при което пътешественикът ще вижда огледален образ на палмата, е:

L = (H_1 + H_2)\,\mathrm{tg}\,\theta = \frac{(H_1 + H_2)n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}

[1 т]

Като вземем предвид, че $n_1 \approx n_2 \approx 1$ , получаваме:

L = \frac{(H_1 + H_2)}{\sqrt{2K(\rho_1 - \rho_2)}} = (H_1 + H_2)\sqrt{\frac{T_1T_2}{2Ka(T_2 - T_1)}}.

[1 т]

или $L \approx 1042\ \mathrm{m}$ . [1 т]

Лъчева диаграма: обект с височина H2 вляво, наблюдател с височина H1 вдясно, лъч, отразен от приземния слой под ъгъл тета нула, и пунктирен лъч към обърнатия образ под повърхността. — Фиг. 3. Ход на лъча: лъчът от обекта (палмата) с височина $H_2$ пада върху нагорещения приземен слой под ъгъл $\theta_0$ , търпи пълно вътрешно отражение и достига наблюдателя с височина $H_1$ на разстояние $L$ ; пунктирът показва мнимия образ.

Оригинал в Архива: esenni_2005_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2005_11-12solutions.pdf