НЕСФ 2005, Специална тема — Задача 1. Точки на Лагранж

Национално есенно състезание по физика, Русе, 18 – 20 ноември 2005 г. — Специална тема · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

Около звезда с маса $M_1$ по кръгова орбита обикаля планета с маса $M_2$. Разстоянието между центровете на звездата и планетата е $d$. Намерете:

а) разстоянията от центъра на масата на системата звезда-планета съответно до звездата $a_1$ и планетата $a_2$. [1 т.]

б) ъгловата скорост $\omega$, с която звездата и планетата обикалят около центъра на масата на системата звезда-планета. [2 т.]

в) в пространството около така избраната система звезда-планета съществуват точки (точки на Лагранж), в които ако се намира трето тяло с маса $m$, много по-малка от масата на планетата, движещо се с подходяща скорост, то ще остава неподвижно спрямо планетата и звездата (на постоянни разстояния до тях). Три от тези точки лежат на правата звезда-планета. Ако $M_2 \ll M_1$ и допуснете, че разстоянието от тези точки до центъра на масата на системата звезда-планета е близко до $a_2$, т.е. може да се представи във вида $a_2 + x_1$, $a_2 - x_2$ и $a_2 + x_3$ ($0 < x_i \ll a_2$), намерете $x_1$, $x_2$ и $x_3$. [6 т.]

г) ако $d = 1{,}5\cdot 10^{8}$ km, $M_1 = 2\cdot 10^{30}$ kg, $M_2 = 6\cdot 10^{24}$ kg, изчислете разстоянията от планетата до близките до нея точки на Лагранж. [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2005_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2005_STsolutions.pdf