НЕСФ 2005, Специална тема — Задача 2. Кубичен кристал

Национално есенно състезание по физика, Русе, 18 – 20 ноември 2005 г. — Специална тема · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

а) Някакво вещество, съдържащо само един тип атоми, може да съществува в две кристални фази – с обемно центрирана кубична (ОЦК) и със стенноцентрирана кубична (СЦК) кристална решетка. Ако при фазовия преход от едната към другата фаза, обемът на веществото не се променя, пресметнете отношението на разстоянията между най-близките атоми $\dfrac{d_2}{d_1}$ (виж Фиг.1). [2 т.]

б) Гледано от позицията на един атом, всички останали атоми от кристала могат да се разпределят в групи от атоми, които се намират на едно и също разстояние от избрания атом. Тези групи от атоми лежат на сфери (с център – избрания атом), които се наричат координационни сфери. Намерете радиусите $r_i$ (като функция на ръбовете на клетките $a_1$ и $a_2$ и на разстоянията между най-близките атоми $d_1$ и $d_2$) на първите (най-малките) четири сфери, и броя атоми $N_i$, лежащи на тях ($i = 1, 2, 3, 4$) за посочените две кристални решетки - (ОЦК) и (СЦК). Представете резултатите в таблица, подобна на представената по-долу.

$i$	ОЦК: $r_i = f(a_1)$	ОЦК: $r_i = f(d_1)$	ОЦК: $N_i$	СЦК: $r_i = f(a_2)$	СЦК: $r_i = f(d_2)$	СЦК: $N_i$
1
2
3
4

в) Нека потенциалната енергия на взаимодействие между два атома се задава със следния израз:

$(1)\qquad U(r) = 4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right]$

Пресметнете разстоянието $r_0$ (като функция на $\sigma$) между атомите и енергията $E_0$ на хипотетична двуатомна молекула при ниски температури (кинетичната енергия на системата се пренебрегва). [2 т.]

г) Нека за едноатомен кристал със СЦК решетка потенциалната енергия между два атома от кристала се задава с формула (1), а енергията на кристала при ниски температури се задава със следната формула:

$(2)\qquad E(d_2) = \frac{1}{2}N4\varepsilon\left[A\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{12} - B\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{6}\right]$

$N$ – брой атоми в кристала, $d_2$ – разстоянието между най-близките съседи.

Отчитайки взаимодействието на всеки атом с атомите само от първите му 4 координационни сфери, изчислете константите $A$ и $B$ с пет значещи цифри. [3 т]

Намерете разстоянието между най-близко разположените атоми $d_2$ (като функция на $\sigma$). [1 т] [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2005_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2005_STsolutions.pdf