Съдържание

НЕСФ 2005, Специална тема — Задача 2. Кубичен кристал

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2005

Национално есенно състезание по физика, Русе, 18 – 20 ноември 2005 г. — Специална тема · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

а) Някакво вещество, съдържащо само един тип атоми, може да съществува в две кристални фази – с обемно центрирана кубична (ОЦК) и със стенноцентрирана кубична (СЦК) кристална решетка. Ако при фазовия преход от едната към другата фаза, обемът на веществото не се променя, пресметнете отношението на разстоянията между най-близките атоми $\dfrac{d_2}{d_1}$ (виж Фиг.1). [2 т.]

Два куба: вляво ОЦК с атом в центъра и означения d1 и a1, вдясно СЦК с атоми в центровете на стените и означения d2 и a2. — Фиг.1 — елементарните клетки на обемно центрираната (ОЦК) и стенноцентрираната (СЦК) кубична решетка с означени ръбове $a_1$ , $a_2$ и разстояния между най-близките атоми $d_1$ , $d_2$ .

б) Гледано от позицията на един атом, всички останали атоми от кристала могат да се разпределят в групи от атоми, които се намират на едно и също разстояние от избрания атом. Тези групи от атоми лежат на сфери (с център – избрания атом), които се наричат координационни сфери. Намерете радиусите $r_i$ (като функция на ръбовете на клетките $a_1$ и $a_2$ и на разстоянията между най-близките атоми $d_1$ и $d_2$ ) на първите (най-малките) четири сфери, и броя атоми $N_i$ , лежащи на тях ( $i = 1, 2, 3, 4$ ) за посочените две кристални решетки - (ОЦК) и (СЦК). Представете резултатите в таблица, подобна на представената по-долу.

$i$	ОЦК: $r_i = f(a_1)$	ОЦК: $r_i = f(d_1)$	ОЦК: $N_i$	СЦК: $r_i = f(a_2)$	СЦК: $r_i = f(d_2)$	СЦК: $N_i$
1
2
3
4

[2 т.]

в) Нека потенциалната енергия на взаимодействие между два атома се задава със следния израз:

(1)\qquad U(r) = 4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right]

Пресметнете разстоянието $r_0$ (като функция на $\sigma$ ) между атомите и енергията $E_0$ на хипотетична двуатомна молекула при ниски температури (кинетичната енергия на системата се пренебрегва). [2 т.]

г) Нека за едноатомен кристал със СЦК решетка потенциалната енергия между два атома от кристала се задава с формула (1), а енергията на кристала при ниски температури се задава със следната формула:

(2)\qquad E(d_2) = \frac{1}{2}N4\varepsilon\left[A\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{12} - B\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{6}\right]

$N$ – брой атоми в кристала, $d_2$ – разстоянието между най-близките съседи.

Отчитайки взаимодействието на всеки атом с атомите само от първите му 4 координационни сфери, изчислете константите $A$ и $B$ с пет значещи цифри. [3 т]

Намерете разстоянието между най-близко разположените атоми $d_2$ (като функция на $\sigma$ ). [1 т] [4 т.]

Отговори

Решение

а) Разглеждайки Фиг. 1, можем да направим следните изводи: разстоянието между най-близките атоми в ОЦК $d_1$ е половината от телесния диагонал на елементарната клетка (нарисувания куб) като тя съдържа 2 атома. За СЦК $d_2$ е половината от диагонала на коя да е от стените на елементарната клетка (нарисувания куб) като тя съдържа 4 атома. $[0{,}5\ \text{т}]$

Тъй като при фазовия преход обемът на веществото не се променя, то обемът $V$ падащ се на един атом също не се променя. Нека означим с $a_1$ и $a_2$ и с $V_{\text{ОЦК}}$ и $V_{\text{СЦК}}$ съответно ръбовете и обемите на клетките на ОЦК и СЦК кристални решетки. Тогава за обемът $V$ , падащ се на един атом от ОЦК, е

(22)\qquad V = \frac{V_{\text{ОЦК}}}{2} = \frac{a_1^{3}}{2},\ \text{като}\ d_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}a_1\quad [0{,}5\ \text{т}]

За СЦК той е

(23)\qquad V = \frac{V_{\text{СЦК}}}{4} = \frac{a_2^{3}}{4},\ \text{като}\ d_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}a_2\quad [0{,}5\ \text{т}]

Приравнявайки двата обема и замествайки $a_1$ и $a_2$ с $d_1$ и $d_2$ , за отношението $\frac{d_2}{d_1}$ се получава

(24)\qquad \frac{d_2}{d_1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a_2}{\frac{\sqrt{3}}{2}a_1} = \sqrt{\frac{2}{3}}\frac{\sqrt[3]{4V}}{\sqrt[3]{2V}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3}} \approx 1{,}029\quad [0{,}5\ \text{т}]

б) Разглеждайки Фиг. 1, търсените радиуси $r_i$ на първите четири координационни сфери и броя атоми $N_i$ , лежащи на тях, за двата случая на ОЦК и СЦК кристални решетки, можем да представим в следната таблица $[2\ \text{т}]$ :

$i$	ОЦК: $r_i = f(a_1)$	ОЦК: $r_i = f(d_1)$	ОЦК: $N_i$	СЦК: $r_i = f(a_2)$	СЦК: $r_i = f(d_2)$	СЦК: $N_i$
1	$\frac{\sqrt{3}}{2}a_1$	$d_1$	8	$\frac{\sqrt{2}}{2}a_2$	$d_2$	12
2	$a_1$	$\frac{2}{\sqrt{3}}d_1$	6	$a_2$	$\sqrt{2}d_2$	6
3	$\sqrt{2}a_1$	$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}d_1$	12	$\sqrt{\frac{3}{2}}a_2$	$\sqrt{3}d_2$	24
4	$\sqrt{3}a_1$	$2d_1$	8	$\sqrt{2}a_2$	$2d_2$	12

в) Разстоянието между двата атома в молекулата ще съответства на състояние с минимална енергия. Тъй като при ниски температури кинетичната енергия на системата се пренебрегва, то трябва да се намери при какво разстояние $r_0$ потенциалната енергия $U(r)$ е минимална. Намираме първата производна на $U(r)$ и я приравняваме на нула:

(25)\qquad \frac{dU}{dr} = 4\varepsilon\left(-12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}} + 6\frac{\sigma^{6}}{r^{7}}\right) = 0\quad [0{,}5\ \text{т}]

Откъдето

(26)\qquad r_0 = \sqrt[6]{2}\,\sigma \approx 1{,}122\sigma\quad [0{,}5\ \text{т}]

Енергията $E_0 = U(r_0)$

(27)\qquad E_0 = 4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{\sqrt[6]{2}\sigma}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{\sqrt[6]{2}\sigma}\right)^{6}\right] = 4\varepsilon\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = -\varepsilon\quad [1\ \text{т}]

г) От енергията на кристала $E(d_2)$ получаваме потенциалната енергия на един атом $U_1(d_2)$ в полето на останалите атоми:

(28)\qquad U_1(d_2) = \frac{2}{N}E(d_2) = 4\varepsilon\left[A\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{12} - B\left(\frac{\sigma}{d_2}\right)^{6}\right]\quad [0{,}5\ \text{т}]

Отчитайки взаимодействието на всеки атом с атомите само от първите му 4 координационни сфери, потенциалната енергия на един атом $U_1(d_2)$ може да се представи в следния вид:

(29)\qquad U_1(d_2) = \sum_{i=1}^{4}\left\{\sum_{j=1}^{N_i} 4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r_i}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r_i}\right)^{6}\right]\right\} = 4\varepsilon\sum_{i=1}^{4}N_i\left[\left(\frac{\sigma}{r_i}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r_i}\right)^{6}\right]\quad [0{,}5\ \text{т}]

Сравнявайки (28) и (29) следва, че

(30)\qquad A = \sum_{i=1}^{4}N_i\left(\frac{d_2}{r_i}\right)^{12}\quad [0{,}5\ \text{т}]

(31)\qquad B = \sum_{i=1}^{4}N_i\left(\frac{d_2}{r_i}\right)^{6}\quad [0{,}5\ \text{т}]

Използвайки получените резултати от подусловие б) (от таблицата)

(32)\qquad A = 12 + 6\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{12} + 24\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{12} + 12\left(\frac{1}{2}\right)^{12} \approx 12{,}130\quad [0{,}5\ \text{т}]

(33)\qquad B = 12 + 6\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{6} + 24\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6} + 12\left(\frac{1}{2}\right)^{6} \approx 13{,}826\quad [0{,}5\ \text{т}]

Разстоянието между най-близко разположените атоми $d_2$ намираме аналогично на разсъжденията в подусловие в). Енергията на кристала е минимална, когато първата ѝ производна по разстоянието между най-близко разположените атоми $d_2$ е нула:

(34)\qquad \frac{dU}{d(d_2)} = \frac{1}{2}N4\varepsilon\left(-12A\frac{\sigma^{12}}{(d_2)^{13}} + 6B\frac{\sigma^{6}}{(d_2)^{7}}\right) = 0

откъдето

(35)\qquad d_2 = \sqrt[6]{\frac{2A}{B}}\,\sigma\quad [0{,}5\ \text{т}]

Замествайки с получените стойности за $A$ и $B$ от (32) и (33)

(36)\qquad d_2 = \sqrt[6]{\frac{2\cdot 12{,}130}{13{,}826}}\,\sigma \approx 1{,}098\sigma\quad [0{,}5\ \text{т}]

Оригинал в Архива: esenni_2005_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2005_STsolutions.pdf