НЕСФ 2005, Специална тема — Задача 3. Свързани махала

Национално есенно състезание по физика, Русе, 18 – 20 ноември 2005 г. — Специална тема · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

Две еднакви махала са закачени едно до друго на една и съща височина и са свързани с безмасова пружинка, която е неразтегната, когато махалата са вертикални. Всяко едно от махалата има маса $m$, инерчен момент $I$ (спрямо точката на окачване) и разстояние между точката на окачване и центъра на масата му $l$. Въртящият момент $M_D$, с който пружинката действа на махалата, е пропорционален на ъгъла $\left|\alpha_2 - \alpha_1\right|$ ($\alpha_1$, $\alpha_2$ - ъгли на отклонение на махалата):

$(2)\qquad \left|M_D\right| = D\left|\alpha_2 - \alpha_1\right|\ ,\ D = \text{const.} < mgl$

Земното ускорение е $g$.

---

Полезна математика: Ако $x \ll 1$, то $(1+x)^{n} \approx 1+nx$ и $\sin x \approx x$

а) Ако двете махала са отклонени еднакво на малък ъгъл от вертикалата в една и съща посока и се пуснат едновременно, намерете кръговата честота $\omega_1 = \dfrac{2\pi}{T_1}$ на тяхното трептене. [1 т.]

б) Ако двете махала са отклонени на един и същ малък ъгъл от вертикалата в противоположни посоки и се пуснат едновременно, намерете кръговата честота $\omega_2 = \dfrac{2\pi}{T_2}$ на тяхното трептене. [2 т.]

в) Нека първото махало е отклонено на малък ъгъл от вертикалата, а второто махало е вертикално. Махалата се пускат едновременно. Ако зависимостите на техните ъгли на отклонение от времето изглеждат така:

$\alpha_1(t) = C\cos(\omega_3 t)\cos(\omega_4 t)$

$\alpha_2(t) = C\sin(\omega_3 t)\sin(\omega_4 t),\ \omega_3 < \omega_4,$

напишете уравнението на движението за двете махала [2 т] и намерете $\omega_3$ [2,5 т] и $\omega_4$ [2,5 т]. [7 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2005_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2005_STsolutions.pdf