Съдържание

НЕСФ 2005, Специална тема — Задача 1. Точки на Лагранж

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2005

Национално есенно състезание по физика, Русе, 18 – 20 ноември 2005 г. — Специална тема · 18 ноември 2005 г. · 10 т.

Условие

Около звезда с маса $M_1$ по кръгова орбита обикаля планета с маса $M_2$ . Разстоянието между центровете на звездата и планетата е $d$ . Намерете:

а) разстоянията от центъра на масата на системата звезда-планета съответно до звездата $a_1$ и планетата $a_2$ . [1 т.]

б) ъгловата скорост $\omega$ , с която звездата и планетата обикалят около центъра на масата на системата звезда-планета. [2 т.]

в) в пространството около така избраната система звезда-планета съществуват точки (точки на Лагранж), в които ако се намира трето тяло с маса $m$ , много по-малка от масата на планетата, движещо се с подходяща скорост, то ще остава неподвижно спрямо планетата и звездата (на постоянни разстояния до тях). Три от тези точки лежат на правата звезда-планета. Ако $M_2 \ll M_1$ и допуснете, че разстоянието от тези точки до центъра на масата на системата звезда-планета е близко до $a_2$ , т.е. може да се представи във вида $a_2 + x_1$ , $a_2 - x_2$ и $a_2 + x_3$ ( $0 < x_i \ll a_2$ ), намерете $x_1$ , $x_2$ и $x_3$ . [6 т.]

г) ако $d = 1{,}5\cdot 10^{8}$ km, $M_1 = 2\cdot 10^{30}$ kg, $M_2 = 6\cdot 10^{24}$ kg, изчислете разстоянията от планетата до близките до нея точки на Лагранж. [1 т.]

Отговори

Решение

а) В произволна координатна система радиус-векторът $\vec{r}_C$ на центъра на масата на система от две материални точки с маси $M_1$ и $M_2$ и радиус-вектори $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ е:

(1)\qquad \vec{r}_C = \frac{M_1\vec{r}_1 + M_2\vec{r}_2}{M_1 + M_2}\,.

Ако началото на координатната система съвпада с центъра на масата на системата ( $\vec{r}_C = 0$ ), то

(2)\qquad \vec{r}_1 = -\frac{M_2}{M_1}\vec{r}_2

Тъй като $\vec{r}_2 - \vec{r}_1 = \vec{d}$ , то за разстоянията от центъра на масата на системата звезда-планета съответно до звездата $a_1$ и планетата $a_2$ се получава:

(3)\qquad a_1 = \frac{M_2 d}{M_1 + M_2}\quad [0{,}5\ \text{т}]

(4)\qquad a_2 = \frac{M_1 d}{M_1 + M_2}\quad [0{,}5\ \text{т}]

б) Прилагаме вторият закон на Нютон за движението на планетата по окръжност с радиус $a_2$ с ъглова скорост $\omega$ :

F = M_2 a\,,

F = \frac{GM_1M_2}{d^{2}}\ [0{,}5\ \text{т}]\quad\text{и}\quad a = \omega^{2}a_2\ [0{,}5\ \text{т}],\ \text{следователно}

(5)\qquad \omega^{2} = \frac{GM_1}{d^{2}a_2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{d^{3}}

Ако се повторят същите разсъждения за движението на звездата, се получава същата ъглова скорост и за нейното движение. И така

(6)\qquad \omega = \sqrt{\frac{G(M_1 + M_2)}{d^{3}}}\quad [1\ \text{т}]

в) За да остава третото тяло на постоянни разстояния от звездата и планетата, то трябва да обикаля около центъра на масата на системата звезда-планета със същата ъглова скорост $\omega$ . При допускането, че то лежи на правата звезда-планета, то може да се намира в три участъка – отдясно на планетата, между планетата и звездата, и отляво на звездата (виж Фиг. 1).

Права линия с означени положения на M1 (звезда), центъра на масата C и M2 (планета), с отсечки a1, a2, d и малките отмествания x1, x2, x3. — Фиг.1 — трите точки на Лагранж върху правата звезда–планета: разстоянията $a_1$ , $a_2$ , $d$ и отместванията $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ спрямо центъра на масата $C$ .

Прилагаме вторият закон на Нютон за движението на третото тяло по окръжност с радиус $a_2 \pm x_i$ с ъглова скорост $\omega$ .

В първия случай:

(7)\qquad -\frac{GM_1m}{(d + x_1)^{2}} - \frac{GM_2m}{x_1^{2}} = -m\omega^{2}(a_2 + x_1)\quad [0{,}5\ \text{т}]

Замествайки $\omega^{2}$ с израза от (5), $a_2$ с израза от (4) и съкращавайки на множителя $Gm$ , се получава

(8)\qquad -\frac{M_1}{(d + x_1)^{2}} - \frac{M_2}{x_1^{2}} = -\frac{M_1}{d^{2}} - \frac{(M_1 + M_2)x_1}{d^{3}}

Използвайки, че $M_2 \ll M_1$ , следва че $a_2 \approx d$ , следователно $x_1 \ll d$ . Представяйки

\frac{1}{(d + x_1)^{2}} = \frac{1}{d^{2}\left(1 + \frac{x_1}{d}\right)^{2}} \approx \frac{1}{d^{2}}\left(1 - 2\frac{x_1}{d}\right),

след съкращения, (8) се преобразува до

(9)\qquad \frac{2M_1x_1}{d^{3}} - \frac{M_2}{x_1^{2}} = -\frac{(M_1 + M_2)x_1}{d^{3}}

откъдето

(10)\qquad x_1 = \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1 + M_2}}\, d \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}\, d\quad [1{,}5\ \text{т}]

Във втория случай

(11)\qquad -\frac{GM_1m}{(d - x_2)^{2}} + \frac{GM_2m}{x_2^{2}} = -m\omega^{2}(a_2 - x_2)\quad [0{,}5\ \text{т}]

След аналогични преобразувания, както между (8) и (10), за $x_2$ се получава

(12)\qquad x_2 = \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1 + M_2}}\, d \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}\, d\quad [1{,}5\ \text{т}]

В третия случай

(13)\qquad \frac{GM_1m}{(a_2 - a_1 + x_3)^{2}} + \frac{GM_2m}{(2a_2 + x_3)^{2}} = m\omega^{2}(a_2 + x_3)\quad [0{,}5\ \text{т}]

След заместване на $\omega^{2}$ с израза от (5), $a_2$ с израза от (4) и $a_1$ с израза от (3) и съкращавайки на $Gm$ , уравнение (13) се преобразува до

(14)\qquad \frac{M_1}{\left(\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}d + x_3\right)^{2}} + \frac{M_2}{\left(\frac{2M_1}{M_1 + M_2}d + x_3\right)^{2}} = \frac{M_1}{d^{2}} + \frac{(M_1 + M_2)x_3}{d^{3}}

Изваждайки подходящ множител от левите два знаменателя, такъв, че изразите в скобите да са от вида $(1 + y)^{2}$ , (14) се преобразува до

(15)\qquad \frac{M_1}{\left(\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}d\right)^{2}\left(1 + \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}\cdot\frac{x_3}{d}\right)^{2}} + \frac{M_2}{\left(\frac{2M_1}{M_1 + M_2}d\right)^{2}\left(1 + \frac{M_1 + M_2}{2M_1}\cdot\frac{x_3}{d}\right)^{2}} = \frac{M_1}{d^{2}} + \frac{(M_1 + M_2)x_3}{d^{3}}

Използвайки, че изразите след единиците в скобите са много по-малки от единица и приближената формула $(1 + y)^{-2} \approx 1 - 2y$ при $y \ll 1$ , и след умножение на двете страни на равенството по $d^{2}$ , то се преобразува до

(16)\qquad \frac{M_1(M_1 + M_2)^{2}}{(M_1 - M_2)^{2}}\left(1 - \frac{2(M_1 + M_2)}{(M_1 - M_2)}\cdot\frac{x_3}{d}\right) + \frac{M_2(M_1 + M_2)^{2}}{4M_1^{2}}\left(1 - \frac{M_1 + M_2}{2M_1}\cdot\frac{x_3}{d}\right) = M_1 + \frac{(M_1 + M_2)x_3}{d}

След разкриване на скобите и прехвърляне на всички членове, съдържащи $\frac{x_3}{d}$ отдясно, а останалите - отляво, се получава

(17)\qquad \frac{M_1(M_1 + M_2)^{2}}{(M_1 - M_2)^{2}} + \frac{M_2(M_1 + M_2)^{2}}{4M_1^{2}} - M_1 = \frac{2M_1(M_1 + M_2)^{3}}{(M_1 - M_2)^{3}}\frac{x_3}{d} - \frac{M_2(M_1 + M_2)^{3}}{8M_1^{3}}\frac{x_3}{d} + (M_1 + M_2)\frac{x_3}{d}

Въвеждайки означение за отношението $\frac{M_2}{M_1} = \alpha$ и делене на двете страни на $M_1$ , горното равенство може да се преобразува до

(18)\qquad \frac{(1 + \alpha)^{2}}{(1 - \alpha)^{2}} + \frac{\alpha(1 + \alpha)^{2}}{4} - 1 = \left[\frac{2(1 + \alpha)^{3}}{(1 - \alpha)^{3}} - \frac{\alpha(1 + \alpha)^{3}}{8} + (1 + \alpha)\right]\frac{x_3}{d}

Използвайки отново приближената формула $(1 \pm \alpha)^{n} \approx 1 - n\alpha$ , при $\alpha \ll 1$ и отчитайки само най-големите членове, (18) се опростява до

(19)\qquad 1 + 4\alpha + \frac{\alpha}{4} - 1 = 3\frac{x_3}{d}

Така за $x_3$ се получава

(20)\qquad x_3 = \frac{17}{12}\frac{M_2}{M_1}d\quad [1{,}5\ \text{т}]

г) Точките, близки до планетата са две – тези, съответстващи на разстояния от планетата $x_1$ и $x_2$ . Тъй като $x_1 = x_2$ , то тези разстояния трябва да се пресмятат само веднъж. Използвайки (10) или (12) и дадените стойности

(21)\qquad x_1 = x_2 \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}d = \sqrt[3]{\frac{6\cdot 10^{24}\ \text{kg}}{3\cdot 2\cdot 10^{30}\ \text{kg}}}\cdot 1{,}5\cdot 10^{8}\ \text{km} = 1{,}5\cdot 10^{6}\ \text{km}\quad [1\ \text{т}]

Използваните стойности са всъщност масите на Слънцето и Земята и разстоянието Слънце-Земя.

Оригинал в Архива: esenni_2005_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2005_STsolutions.pdf