НЕСФ 2006, Специална тема — Задача 2. Токове на Фуко

Национално есенно състезание по физика 2006, Специална тема · 17 ноември 2006 г. · 10 т.

Условие

Цилиндър с радиус $r_0$ , дължина $h$ ($h \gg r_0$), специфично съпротивление $\rho$ и коефициент на топлопроводност $\kappa$ е поставен в променливо магнитно поле, изменящо се по закона:

$\vec{\text{B}} = \vec{\text{B}}_0 \sin(\omega t)$

Векторът $\vec{\text{B}}_0$ е успореден на оста на цилиндъра. Индуктивността на цилиндъра се пренебрегва. Намерете:

а) плътността на тока $j(r)$ в тънък слой от цилиндъра с радиус $r$ и дебелина $dr$ . [2 т.]

б) мощността $dP(r)$ отделяща се в този тънък слой. [1 т.]

в) мощността $P$ (усреднена по времето), отделяща се в целия цилиндър [1 т.]

г) след известно време температурата на цилиндъра във всяка една негова точка престава да се променя. Ако цилиндърът излъчва като идеално черно тяло във вакуум с нулева температура, намерете температурата на неговата околна повърхност $T(r_0)$ и я пресметнете.

$\omega = 314\,\text{s}^{-1}, \quad \left|\vec{\text{B}}_0\right| = 1\,\text{T}, \quad h = 1\ \text{m}, \quad r_0 = 5\,\text{mm}, \quad \rho = 1{,}55.10^{-8}\,\Omega.\text{m}, \quad \sigma = 5{,}67.10^{-8}\,\text{W}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-4}, \quad \kappa = 400\,\text{W}.\text{m}^{-1}.\text{K}^{-1}$ [1 т.]

д) нека уравнението, описващо зависимостта на температурата $T(r)$ в дадена точка, е следното:

$\frac{1}{r}\frac{dT(r)}{dr} + \frac{d^{2}T(r)}{dr^{2}} = -\frac{1}{\kappa}\frac{dP(r)}{dV}$

, където $\dfrac{dP(r)}{dV}$ е отделената мощност от токовете на Фуко в единица обем на разстояние $r$ от оста. Нека функцията $T(r)$ е от вида:

$T(r) = \text{A} - \text{B}r^{4}, \qquad \text{A и B – константи.}$

Намерете разликата $\Delta T$ между температурата на оста на цилиндъра $T(0)$ и на неговата повърхност $T(r_0)$. Ефектът от крайната дължина на цилиндъра се пренебрегва. [3 т.]

е) приемете, че порядъка на отношението на амплитудата на магнитното поле $\text{B}_{i0}$, което създават индуцираните токове на оста на цилиндъра, към амплитудата на външното магнитно поле $\text{B}_0$ е критерий за възможността да се пренебрегне индуктивността на цилиндъра. Намерете това отношение и оценете дали при дадените параметри на задачата, това пренебрегване е приемливо. Ефектът от крайната дължина на цилиндъра се пренебрегва. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2006_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2006_STsolutions.pdf