НЕСФ 2007, Специална тема — Задача 1. Махало – нелинейност и затихване

Национално есенно състезание по физика, Враца, 16 – 18 ноември 2007 г. — Специална тема · 16 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

Махало – нелинейност и затихване. Тяло се люлее около точка под действие на силата на тежестта. Максималният ъгъл $\alpha_0$ на завъртане на тялото се пресмята чрез измерване на дължината x (виж Фиг. 1). h = 48.0 cm. Измерени са следните данни за зависимостта на времето за пет периода (5T) на махалото като функция на амплитудата му на трептене (дадена чрез x) (виж Табл. 1):

Табл. 1

x, cm	5T, s	x, cm	5T, s
2.5	6.75475	15.0	6.79200
5.0	6.75825	17.5	6.80325
7.5	6.76400	20.0	6.81750
10.0	6.77125	22.5	6.83825
12.5	6.78100	25.0	6.85625

Теорията твърди, че при незатихващи трептения на махало, периодът $T(\alpha_0)$ на трептене зависи от ъгловата амплитуда $\alpha_0$ приблизително така:

$T(\alpha_0) = T(0)\left[1 + k\sin^2\!\left(\frac{\alpha_0}{2}\right)\right], \qquad (1.1)$

където T(0) е периодът при много малки амплитуди, а k – неизвестен коефициент. Начертайте в подходящи координати дадената зависимост и от графиката намерете:

а) периода T(0) [2 т] [2 т.]

б) коефициента k [2 т] [2 т.]

в) Изследвано е и затихването на същото махало. След като е пуснато от ъгъл $\alpha_0(0)$ в определени моменти време t след пускането му е измервано времето за 5 периода T на махалото (виж Табл. 2). Теорията твърди, че в приближение на слабо затихване [ $\alpha_0(t) - \alpha_0(t+T) \ll \alpha_0(t)$ ], малки ъгли $\alpha(t)$ и сила на съпротивление на въздуха, пропорционална на квадрата на ъгловата скорост на махалото, амплитудата на трептене $\alpha_0(t)$ зависи от t приблизително така:

$\alpha_0(t) = \frac{\alpha_0(0)}{1 + \alpha_0(0)\gamma t} \qquad (1.2)$

Табл.2

t, s	5T, s
60	6.785
120	6.783
180	6.780
240	6.779
300	6.776
360	6.775

Начертайте в подходящи координати дадената зависимост и от графиката намерете:

в) ъгъла $\alpha_0(0)$ [2 т] [2 т.]

г) коефициента $\gamma$ [2 т] [2 т.]

д) в най-простия модел на махало, съставено от малко топче, закачено на нишка, трептящо с малка амплитуда и действаща сила на съпротивление върху топчето $F_{съпр} = bv^2$ (v – скоростта на топчето), докажете зависимостта (1.2) и изразете коефициента $\gamma$ чрез параметрите на задачата. [2т] [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2007_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2007_STsolutions.pdf