Съдържание

НЕСФ 2008, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Национално есенно състезание по физика 2008, Тема 10. клас · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

Вертикално пружинно махало с коефициент на еластичност $k = 40$ N/m и маса $m = 100$ g е закачено над хоризонтална метална равнина. Когато на тялото с маса $m$ се придаде електричен заряд $q = 1\ \mu$ C, махалото започва да трепти с амплитуда $a = 1$ cm. Зарядът на махалото индуцира в металната равнина електричен заряд. Взаимодействието на заряда $q$ със заряда на металната равнина може да се опише чрез въвеждането на заряд $q'$ със същата големина, разположен в мястото на огледалния образ на заряда $q$ спрямо равнината.

Пружина с коефициент k, окачена на таван, с топче с маса m в долния край, над синя хоризонтална метална равнина. — Фиг. 3 — вертикално пружинно махало с коефициент на еластичност $k$ и маса $m$ , окачено над хоризонтална метална равнина.

а) Определете периода $T_0$ на незареденото пружинно махало. [2 т.]

б) Какъв е знакът на заряда $q'$ ? [1 т.]

в) Определете честотата на хармоничните трептения на зареденото вертикално пружинно махало.

Указание. Константата в закона на Кулон $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9.10^{9}\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ . [7 т.]

Отговори

Решение

а) По определение за период на пружинно махало имаме

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 0{,}31\ \mathrm{s}\,.

[2 т.]

б) Индуцираният в металната равнина електричен заряд е обратен по знак на заряда $q$ [0,5 т.]. Следователно имаме $q' < 0$ [0,5 т.].

в) Нека равновесното положение на незареденото пружинно нахало се намира на височина $x_0$ над металната равнина. Тогава в равновесното положение на зареденото пружинно махало, което се намира на разстояние $a$ под другото [0,5 т.], ще бъде изпълнено условието

ka = \frac{e^2}{4(x_0 - a)^2}\,,

[1 т.] където $e^2 = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}$ .

Ако отклоним зареденото махало на разстояние $x$ вертикално надолу възниква връщаща сила

F = k(a + x) - \frac{e^2}{4(x_0 - a - x)^2} = ka - \frac{e^2}{4(x_0 - a)^2} + kx + \frac{e^2}{4}\left(\frac{1}{(x_0 - a)^2} - \frac{1}{(x_0 - a - x)^2}\right),

[2 т.] откъдето намираме

F = kx + \frac{e^2}{4}\,\frac{\left[-2(x_0 - a)x + x^2\right]}{(x_0 - a)^2(x_0 - a - x)^2}\,.

[1 т.]

Тази сила е еластична, когато $x \ll (x_0 - a)$ и има вида

F \approx \left(k - \frac{e^2}{2(x_0 - a)^3}\right)x\,.

[1 т.]

Тогава периодът

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k - \dfrac{e^2}{2(x_0 - a)^3}}} = \frac{T_0}{\sqrt{1 - 4a\left(\dfrac{ka}{e^2}\right)^{1/2}}} \approx 0{,}35\ \mathrm{s}\,,

[1,5 т.] където е отчетено, че

\frac{1}{(x_0 - a)^3} = \left(\frac{4ka}{e^2}\right)^{3/2}\,.

Оригинал в Архива: esenni_2008_10problems.pdf · официални решения: esenni_2008_10solutions.pdf