Съдържание

НЕСФ 2008, 11–12 клас — Задача 3. Дисперсия и дифракция на светлината

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Есенно национално състезание по физика 2008, тема за 11. - 12. клас · 21 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

Върху прозрачна призма с ъгъл при върха $30^0$ пада бяла светлина перпендикулярно на една от страните на призмата. Червената светлина (с дължина на вълната $\lambda_1 = 600\ \mathrm{nm}$ ) се отклонява от първоначалната си посока на ъгъл $23{,}13^0$ , а виолетовата ( с дължина $\lambda_2 = 400\ \mathrm{nm}$ ) – на ъгъл $28{,}21^0$ .

а) Определете показателите на пречупване за тези две дължини ( с точност три значещи цифри) (3 т.)

б) За прозрачни среди, зависимостта на показателя на пречупване $n$ от дължината на вълната се дава от $n = a + \dfrac{b}{\lambda^2}$ . Използвайки тази зависимост, определете ъгълът, на който ще се отклони зелена светлина с дължина на вълната $\lambda_3 = 500\ \mathrm{nm}$ . (2 т.)

Две схеми: призма с ъгъл 30 градуса при върха, върху която пада хоризонтален лъч и излизат два отклонени лъча (600 nm и 400 nm); вдясно същото, но призмата е заменена с дифракционна решетка, изобразена като дебела пунктирана линия под 30 градуса. — Ляво: ход на лъчите през призмата. Дясно: същата геометрия с дифракционна решетка на мястото на задната страна на призмата.

в) Нека предположим, че вместо призмата е поставена дифракционна решетка на мястото на задната страна на призмата. Нека отново се наблюдава червена светлина (600 nm), отклонена от първоначалната си посока на ъгъл $23{,}13^0$ за максимума си от 4-ти порядък. Колко е периодът на дифракционната решетка (2 т.)? За кой порядък на виолетовата светлина (400 nm) ще се наблюдава максимум, отклонен с $28{,}21^0$ от първоначалната си посока (1 т.). Колко червени и колко виолетови линии ще се наблюдават след дифракционната решетка (2 т.)? [5 т.]

Забележка: Забележка: Ако вашия калкулатор не разполага с функцията sin, използвайте по-долу таблица на sin за градуси в интервала 20-70. Междинни стойности между две съседни стойности се получават чрез линейно приближение.

градуси	sin	градуси	sin	градуси	sin	градуси	sin	градуси	sin
20	0,34202	30	0,5	40	0,642787	50	0,766044	61	0,874619
21	0,358368	31	0,515038	41	0,656059	51	0,777145	62	0,882947
22	0,374606	32	0,529919	42	0,66913	52	0,78801	63	0,891006
23	0,390731	33	0,544639	43	0,681998	53	0,798635	64	0,898794
24	0,406736	34	0,559192	44	0,694658	54	0,809017	65	0,906307
25	0,422618	35	0,573576	45	0,707106	55	0,819152	66	0,913545
26	0,438371	36	0,587785	46	0,719339	56	0,829037	67	0,920504
27	0,45399	37	0,601815	47	0,731353	57	0,83867	68	0,927183
28	0,469471	38	0,615661	48	0,743144	58	0,848048	69	0,93358
29	0,484809	39	0,62932	49	0,754709	59	0,857167	70	0,939692

Отговори

Решение

а) Нека означим с $\varphi_0$ ъгълът при върха на призмата ( $30^0$ ). Той ще бъде и ъгъл, под който пада светлината върху втората повърхност на призмата (0,5 т.). От закона на Снелиус
$n_1.\sin(\varphi_0) = \sin(\varphi_1)$ и $n_2.\sin(\varphi_0) = \sin(\varphi_2)$ (0,5 т.), където $\varphi_1 = 30+23{,}13 = 53{,}13^0$ (0,5 т), а $\varphi_2 = 30+28{,}21 = 58{,}21^0$ (0,5 т.). Използвайки таблиците (с интерполация) или калкулатор, получаваме $n_1 = 1{,}60$ (0,5 т.) и $n_2 = 1{,}70$ (0,5 т.) .

б) Решавайки системата

n_1 = a + \frac{b}{\lambda_1^2} \quad \text{и} \quad n_2 = a + \frac{b}{\lambda_2^2}

получаваме $a = \dfrac{n_1\lambda_1^2 - n_2\lambda_2^2}{\lambda_1^2 - \lambda_2^2}$ (0,5 т.) и $b = \dfrac{\lambda_1^2\lambda_2^2(n_2 - n_1)}{\lambda_1^2 - \lambda_2^2}$ (0,5 т.),

Откъдето определяме показателя на пречупване за $\lambda_3 = 500\ \mathrm{nm}$
$n_3 = 1{,}635$ (0,5 т.) и съответно ъгълът на отклонение $\varphi_3 = 54{,}84 - 30 = 24{,}84^0$ (0,5 т.)

в) Ако светлина с дължина на вълната $\lambda_1$ пада косо (под ъгъл $\varphi_0$ ), то след дифракционната решетка ще се наблюдават максимуми при $d[\sin(\varphi_1) - \sin(\varphi_0)] = m.\lambda_1$ (1 т.). Константата на дифракционната решетка определяме при $m = 4$

d = \frac{4.\lambda_1}{\sin(\varphi_1) - \sin(\varphi_0)} = \frac{4.600}{0{,}8 - 0{,}5} = 8000\ \mathrm{nm} = 8\ \mu\mathrm{m}

(1 т.)

Ако виолетова светлина е отклонена на по-голям ъгъл от червена, то това ще съответсва на по-голям порядък $(m+k)$ и съответно ще имаме

d[\sin(\varphi_2) - \sin(\varphi_0)] = (m + k).\lambda_2

m + k = \frac{d[\sin(\varphi_2) - \sin(\varphi_0)]}{\lambda_2} = \frac{8000.(0{,}85 - 0{,}5)}{400} = 7

(1 т.)

Броят максимуми определяме от

\sin\varphi = \sin\varphi_0 + \frac{m.\lambda}{d}.

Тъй като $-1 \le \sin(\varphi) \le 1$ (0,5 т.), а $\sin(\varphi_0) = \tfrac{1}{2}$ , броят максимуми определяме от неравенството: $-3/2 \le m.\lambda/d \le \tfrac{1}{2}$ (0,5 т.) . За червената линия това дава $-20 \le m \le 6{,}67$ – ще се наблюдават 27 (или 26, ако не се брои $m = -20$ ) максимума (0,5 т.). За синята линия $-30 \le m \le 10$ – ще се наблюдават 41 (или 39, ако не се броят крайните) максимума (0,5 т.).

Оригинал в Архива: esenni_2008_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2008_11-12solutions.pdf