НЕСФ 2008, Специална тема — Задача 2. Маглев – влак

Национално есенно състезание по физика, Стара Загора, 22-23 ноември 2008 г. — Специална тема · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

„Маглев“ не е име на изобретател, а съкращение от магнитна левитация – съвременна технология, която позволява на влака да „виси“ на около 10 cm над релсите благодарение на система от отблъскващи се магнити. Задвижването на такъв влак не може да стане по традиционен начин – чрез колела, а се осъществява по индукционен начин. На фигурата е показана принципната схема на задвижващата система на влака. Под релсите през еднакви разстояния $a = 2.0$ m са разположени намотки, на които се подават променливи напрежениия с еднакви амплитуди, с честота $\nu = 50$ Hz, но фази, отместени на $120^\circ$ между всеки две последователни намотки (трифазно напрежение). В резултат от това над релсите се създава магнитно поле, чиято вертикална компонента $B_z$ се изменя като функция на времето $t$ и на координатата $x$ по закона:

$(1)\qquad B_z = B_0\sin\!\left(\omega t - kx\right),$

където $B_0 = 0.2$ T е амплитудата на магнитната индукция. В локомотива е разположена хоризонтално квадратна метална рамка, наречена екситор, с дължина на страната $L = 3$ m. Съпротивлението на рамката е $R = 0.001\ \Omega$. Индуктивността на рамката се пренебрегва.

Приемете, че върху влака действа сила на съпротивление на въздуха, пропорционална на квадрата на скоростта му:

$(2)\qquad f = Cv^2,$

като $C = 2.0$ kg/m е коефициент на пропорционалност.

а) Изразете величините $\omega$ и $k$ чрез честотата $\nu$ на променливото напрежение и разстоянието $a$ между намотките. [1 т.]

б) Приемете, че локомотивът е неподвижен и центърът на рамката има координата $x = 0$ m. Получете израз за индуцираното в рамката напрежение $U$ като функция на времето и на параметрите $B_0$, $L$, $\omega$, $k$, $a$. [1,5 т.]

в) Получете израз за средната по времето магнитна сила $\overline{F}$, която действа на рамката. Изразете отговора чрез $B_0$, $L$, $\omega$, $k$, $a$. [3 т.]

г) Приемете, че влакът се движи със скорост $v$ в положителна посока на оста $X$. Като използвате резултата от т. в), получете израз за средната магнитна сила, действаща на рамката като функция на скоростта $v$. [3 т.]

д) Пресметнете числено максималната скорост $v_{\max}$, която може да достигне влакът. [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2008_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2008_STsolutions.pdf