Съдържание

НЕСФ 2008, Специална тема — Задача 2. Маглев – влак

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Национално есенно състезание по физика, Стара Загора, 22-23 ноември 2008 г. — Специална тема · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

„Маглев“ не е име на изобретател, а съкращение от магнитна левитация – съвременна технология, която позволява на влака да „виси“ на около 10 cm над релсите благодарение на система от отблъскващи се магнити. Задвижването на такъв влак не може да стане по традиционен начин – чрез колела, а се осъществява по индукционен начин. На фигурата е показана принципната схема на задвижващата система на влака. Под релсите през еднакви разстояния $a = 2.0$ m са разположени намотки, на които се подават променливи напрежениия с еднакви амплитуди, с честота $\nu = 50$ Hz, но фази, отместени на $120^\circ$ между всеки две последователни намотки (трифазно напрежение). В резултат от това над релсите се създава магнитно поле, чиято вертикална компонента $B_z$ се изменя като функция на времето $t$ и на координатата $x$ по закона:

(1)\qquad B_z = B_0\sin\!\left(\omega t - kx\right),

където $B_0 = 0.2$ T е амплитудата на магнитната индукция. В локомотива е разположена хоризонтално квадратна метална рамка, наречена екситор, с дължина на страната $L = 3$ m. Съпротивлението на рамката е $R = 0.001\ \Omega$ . Индуктивността на рамката се пренебрегва.

Приемете, че върху влака действа сила на съпротивление на въздуха, пропорционална на квадрата на скоростта му:

(2)\qquad f = Cv^2,

като $C = 2.0$ kg/m е коефициент на пропорционалност.

Схема на маглев: две релси, под тях редица намотки на равни разстояния a, свързани към трифазно захранване; над релсите хоризонтална квадратна рамка със страна L; означени оси Z и X. — Принципна схема на задвижващата система на влака: намотки под релсите през разстояние $a$ и квадратна рамка (екситор) със страна $L$ в равнината $XZ$ .

а) Изразете величините $\omega$ и $k$ чрез честотата $\nu$ на променливото напрежение и разстоянието $a$ между намотките. [1 т.]

б) Приемете, че локомотивът е неподвижен и центърът на рамката има координата $x = 0$ m. Получете израз за индуцираното в рамката напрежение $U$ като функция на времето и на параметрите $B_0$ , $L$ , $\omega$ , $k$ , $a$ . [1,5 т.]

в) Получете израз за средната по времето магнитна сила $\overline{F}$ , която действа на рамката. Изразете отговора чрез $B_0$ , $L$ , $\omega$ , $k$ , $a$ . [3 т.]

г) Приемете, че влакът се движи със скорост $v$ в положителна посока на оста $X$ . Като използвате резултата от т. в), получете израз за средната магнитна сила, действаща на рамката като функция на скоростта $v$ . [3 т.]

д) Пресметнете числено максималната скорост $v_{\max}$ , която може да достигне влакът. [1,5 т.]

Отговори

Решение

а) Уравнението (1) е уравнение на бягяща вълна с кръгова честота:

(1)\qquad \omega = 2\pi\nu = 314\ \mathrm{rad/s}

[0.5]

и вълново число:

(2)\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}\,.

Понеже фазата на вълната се изменя със $120^\circ = 2\pi/3$ на разстояние $a$ , следва, че:

(3)\qquad \lambda = 3a

(4)\qquad k = \frac{2\pi}{3a} = 1.05\ \mathrm{rad/m}

[0.5]

б) Потокът на магнитното поле през рамката е:

(5)\qquad \Phi(t) = L\int_{-L/2}^{L/2} B_0\sin(\omega t - kx)\,dx = \frac{2LB_0}{k}\sin(\omega t)\sin\!\left(\frac{kL}{2}\right)

[0.5]

Според закона на Фарадей индуцираното напрежение е:

(6)\qquad U(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{2LB_0\omega}{k}\cos(\omega t)\sin\!\left(\frac{kL}{2}\right).

[1.0]

в) От закона на Ом следва, че токът, който тече през рамката се дава с израза:

(7)\qquad I(t) = -\frac{2LB_0\omega}{kR}\cos(\omega t)\sin\!\left(\frac{kL}{2}\right)

[0.5]

За положителна е приета посоката на тока, която съответства на правилото на свитите пръсти на дясната ръка. В този случай, магнитната сила, действаща в направление на оста $X$ е:

(8)\qquad F(t) = IB_z(t, L/2)L - IB_z(t, -L/2)L = \frac{4B_0^2L^2\omega}{kR}\cos^2(\omega t)\sin^2\!\left(\frac{kL}{2}\right).

[1.0]

Понеже:

(9)\qquad \overline{\cos^2(\omega t)} = 1/2,

[0.5]

следва, че средната магнитна сила е:

(10)\qquad \overline{F} = \frac{2B_0^2L^2\omega}{kR}\sin^2\!\left(\frac{kL}{2}\right).

[1.0]

г) Ако свържем отправна система с ос $X'$ с движещия се влак, от преобразуванията на Галилей следва:

(11)\qquad x = x' + vt\,.

Като заместим в уравнението на бягащата вълна, получаваме:

(12)\qquad B_z = B_0\sin\!\left((\omega - kv)t - kx\right),

[1.0]

т.е. в отправна система, свързана с влака, магнитното поле се изменя с кръгова честота:

(13)\qquad \omega' = \omega - kv\,.

[1.0]

В този случай средната сила, действаща на локомотива е:

(14)\qquad \overline{F} = \frac{2B_0^2L^2}{R}\left(\frac{\omega}{k} - v\right)\sin^2\!\left(\frac{kL}{2}\right).

[1.0]

д) Влакът достига максимална скорост, при която магнитната сила се уравновесяна със силата на съпротивление на въздуха:

(15)\qquad \frac{2B_0^2L^2}{R}\left(\frac{\omega}{k} - v_{\max}\right)\sin^2\!\left(\frac{kL}{2}\right) = Cv_{\max}^2

[0.5]

След като заместим с числените данни, получаваме:

(16)\qquad 2v_{\max}^2 + 720 v_{\max} - 2.16\times 10^5 = 0,

Уравнението има само един положителен корен:

(17)\qquad v_{\max} \approx 195\ \mathrm{m/s} = 700\ \mathrm{km/h}.

[1.0]

Оригинал в Архива: esenni_2008_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2008_STsolutions.pdf