Съдържание

НЕСФ 2009, 11–12 клас — Задача 2. Пръчка, падаща по U-видна проводяща стойка в магнитно поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Есенно национално състезание по физика, 31.10–1.11 2009 година, гр. Варна — Тема за 11. и 12. клас · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Обърната U-видна проводяща стойка е поставена вертикално върху изолаторна подложка. С два малки проводящи пръстена към стойката е прикрепена хоризонтално пръчка с дължина $L = 10$ cm, маса $m = 10$ g и съпротивление $R = 4.10^{-3}$ Ω. Опитната постановка се намира в еднородно магнитно поле с индукция $B = 0{,}2$ T, насочена перпендикулярно на равнината на U-видната стойка (фиг. 3). В началния момент пръчката е неподвижна. След това тя се спуска надолу под действие на силата на тежестта и през нея протича електричен ток. Електричното съпротивлението на стойката и на пръстените се пренебрегва. Пръстените се хлъзгат по стойката без триене, като запазват електрическия контакт с нея. Земното ускорение е $g = 10$ m/s $^2$ .

а) Каква е причината за протичане на електричен ток и как може да се определи неговата посока? Обяснете с 5-6 реда. [2 т.]

б) Определете посоката на тока. [1 т.]

в) Определете ускорението $a$ на пръчката, когато токът е $I = 3$ A. [2 т.]

г) С течение на времето пръчката достига постоянна скорост $v$ . Получете формула за $v$ и пресметнете нейната числена стойност. [3 т.]

д) Нека пръчката се движи време $t$ с достигнатата постоянна скорост $v$ . Покажете с непосредствено пресмятане, че отделеното в пръчката за това време количество топлина е равно на намаляването на нейната гравитационна потенциална енергия за същото време. [2 т.]

Фиг. 3. Проводящата стойка и магнитното поле.

Решение

а) При спускането на пръчката нараства броят на индукционните линии (магнитният поток) през проводниковия контур, образуван от пръчката и горната част на стойката. Тогава съгласно със закона на Фарадей в контура се индуцира електричен ток. Посоката на индуцирания ток се определя по правилото на Ленц [2 т.]

б) Токът през пръчката тече в посока от точка $a$ към точка $b$ [1 т.]

в) На пръчката действа сила на тежестта $G = mg$ , насочена вертикално надолу, и магнитна сила $F = BIL$ , която е насочена вертикално нагоре [1 т.]

Записваме уравнението на втория принцип на механиката за движението на пръчката

mg - BIL = ma,

откъдето определяме нейното ускорение

(1)\qquad a = g - \frac{BIL}{m} = 4\ \mathrm{m/s^2}\qquad \textbf{[1 т.]}

г) За малък интервал от време $\Delta t$ пръчката изминава разстояние $v\Delta t$ и площта на токовия контур нараства с $\Delta S = Lv\Delta t$ . Съгласно със закона на Фарадей в контура се индуцира електродвижещо напрежение

(2)\qquad \varepsilon = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B\Delta S}{\Delta t} = BLv\qquad \textbf{[1 т.]}

Индуцираният ток е

(3)\qquad I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLv}{R}\qquad \textbf{[1 т.]}

Пръчката започва да се движи с постоянна скорост, когато се изравнят големините на двете сили, т.е. когато нейното ускорение стане равно на нула. Полагаме $a = 0$ в уравнение (1), заместваме тока $I$ от уравнение (3) и изразяваме постоянната скорост на пръчката

(4)\qquad v = \frac{mgR}{B^2L^2} = 1\ \mathrm{m/s}\qquad \textbf{[1 т.]}

д) Когато пръчката се движи с постоянна скорост, от уравнение (1) следва, че през нея тече постоянен ток $I = \dfrac{mg}{BL}$ . Отделеното в пръчката количество топлина за време $t$ се определя от закона на Джаул–Ленц

(5)\qquad Q = I^2Rt = \frac{m^2g^2Rt}{B^2L^2}\qquad \textbf{[1 т.]}

За време $t$ пръчката изминава надолу път $h = vt$ и нейната потенциална енергия намалява с $\Delta E_{\text{п}} = mgh = mgvt$ . Заместваме $v$ от формула (4) и получаваме

(6)\qquad \Delta E_{\text{п}} = mgvt = \frac{m^2g^2Rt}{B^2L^2}\qquad \textbf{[1 т.]}

От уравнения (5) и (6) се вижда, че механична (потенциална) енергия, която пръчката губи при движението си надолу с постоянна скорост се преобразува изцяло в топлинна енергия.

Оригинал в Архива: esenni_2009_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2009_11-12solutions.pdf