Съдържание

НЕСФ 2009, 11–12 клас — Задача 3. Пружинно махало и нееластичен удар с топче от пластилин

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Есенно национално състезание по физика, 31.10–1.11 2009 година, гр. Варна — Тема за 11. и 12. клас · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Трупче с маса $m$ е закачено за пружина с коефициент на еластичност $k$ . Трупчето се хлъзга без триене по хоризонтална равнина и извършва незатихващо хармонично трептене с амплитуда $A$ (фиг. 4). Масата на пружината се пренебрегва.

Фиг. 4. Пружинното махало и падащото топче.

а) Определете максималното ускорение $a_{\mathrm{m}}$ и максималната скорост $v_{\mathrm{m}}$ и на трупчето. [2 т.]

б) Представете моментната скорост $v$ на трупчето като функция на отклонението $x$ от равновесното му положение. [2 т.]

От височина $h$ е пуснато да пада без начална скорост топче от пластилин с маса $m/2$ , което се удря в трупчето и залепва за него. Ударът става в момента, когато отклонението на трупчето е $x = \dfrac{A}{2}$ . (Приема се, че времето на удара е много малко, така че за това време отклонението $x$ на трупчето не се изменя.)

в) Определете амплитудата на трептене $A_1$ на системата след удара. [4 т.]

г) Определете изменението на механичната енергия на системата (пружинно махало + топче) в резултат на удара. Не противоречи ли полученият резултат на закона за запазване на енергията? Обяснете в 4-5 реда. [2 т.]

Джокери: законите за запазване на енергията и импулса.

Решение

а) $a_{\mathrm{m}} = \dfrac{k}{m}A$ [1 т.] $v_{\mathrm{m}} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ [1 т.]

б) От закона за запазване на енергията следва равенството

\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2},\qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето изразяваме скоростта

(1)\qquad v = \sqrt{\frac{k}{m}\left(A^2 - x^2\right)}\qquad \textbf{[1 т.]}

в) Тъй като трупчето се движи без триене, в хоризонтално направление на системата (трупче + топче) не действат външни сили. (Времето на удара $\tau$ е много малко, поради което импулсът $kx\tau$ на връщащата сила по време на удара се пренебрегва.) Затова хоризонталната компонента на импулса на системата се запазва:

(2)\qquad mv = \left(m + \frac{m}{2}\right)u,\qquad \textbf{[1 т.]}

където $v$ е скоростта на трупчето преди удара, а $u$ – скоростта на съставното тяло (трупче + топче) след удара. От уравнение (1) определяме

(3)\qquad v = A\sqrt{\frac{3k}{4m}}\qquad \textbf{[0,5 т.]}

От уравнения (2) и (3) определяме скоростта $u$ :

(4)\qquad u = A\sqrt{\frac{k}{3m}}\qquad \textbf{[0,5 т.]}

След удара енергията на системата се запазва:

(5)\qquad \frac{(m + m/2)}{2}u^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}kA_1^2\qquad \textbf{[1 т.]}

Заместваме скоростта $u$ от (4) в (5) и определяме амплитудата на трептене след удара

(6)\qquad A_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}A\qquad \textbf{[1 т.]}

г) Механичната енергията на системата непосредствено преди удара е $E_0 = \dfrac{1}{2}kA^2 + \dfrac{mgh}{2}$ . След удара енергията е $E_1 = \dfrac{1}{2}kA_1^2 = \dfrac{3}{8}kA^2$ . Изменението на енергията е

(7)\qquad \Delta E = E_1 - E_0 = -\left(\frac{1}{8}kA^2 + \frac{mgh}{2}\right)\qquad \textbf{[1 т.]}

Знакът минус показва, че механичната енергия на системата намалява. Законът за запазване на енергията обаче не се нарушава. Ударът е нееластичен – при него част от кинетичната енергия на телата се превръща във вътрешна енергия. Телата се деформират и се нагряват [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2009_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2009_11-12solutions.pdf