Съдържание

НЕСФ 2009, 9. клас — Задача 2. Спиртомер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Национално есенно състезание по физика, Варна, 31 октомври 2009 г. — Тема за 9 клас · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Водата има плътност $\rho_B = 1{,}00\ \mathrm{g/cm^3}$ , а етанолът (етилов алкохол) – $\rho_E = 0{,}80\ \mathrm{g/cm^3}$ . Като смесим обем $V_B$ вода с обем $V_E$ етанол се получава разтвор с обем $V_P = V_B + V_E$ и обемна концентрация

x = \frac{V_E}{V_E + V_B}.

Плътносттта на въздуха се пренебрегва.

а) Намерете зависимостта на плътността $\rho_P$ на разтвора от $x$ , $\rho_B$ и $\rho_E$ . [1 т.]

б) Нека прибор за измерване на концентрацията $x$ да бъде цилиндър с дължина $H$ , сечение $S$ и плътност $\rho_M$ . Цилиндърът се потапя вертикално в разтвора до положение на равновесие като от него над течността остава да стърчи част с дължина $h$ . Как ще зависи $h$ от $H$ , $x$ , $\rho_M$ , $\rho_B$ и $\rho_E$ ? [2 т.]

в) Намерете $h$ в двата частни случая: $h(0),\ x = 0$ (чиста вода) и $h(1),\ x = 1$ (чист етанол). [1 т.]

г) За фиксирана дължина $H$ на цилиндъра може да се подбере материал с такава оптимална плътност $\rho_{\text{опт}}$ , че “скалата” върху цилиндъра за измерване на $x$ да заема най-голяма част от нея, т.е. числото

\varepsilon = \frac{h(1) - h(0)}{H}

да е най-голямо. Колко трябва да е $\rho_{\text{опт}}$ тогава? А числото $\varepsilon$ ? [3 т.]

д) Ако трябва да градуирате скалата на така оптимизирания спиртомер с плътност $\rho_{\text{опт}}$ и дължина $H = 20\ \mathrm{cm}$ , ще трябва на някакви дължини $h$ да нанесете съответните концентрации $x$ . Направете таблица, в която изчислете $h$ с точност до 1 мм за $x = 0,\ 0.2,\ 0.4,\ 0.6,\ 0.8$ и $1.0$ [2 т.]

е) ако $h$ може да се измерва с точност 1 мм, с каква точност този спиртомер ще може да мери концентрацията $x$ . [1 т.]

Отговори

Решение

а) Плътността на разтвора $\rho_P = \dfrac{m_P}{V_P} = \dfrac{\rho_E V_E + \rho_B V_B}{V_P}$ [0.5 т] $= \dfrac{\rho_E x V_P + \rho_B(1-x)V_P}{V_P} = \rho_B - x(\rho_B - \rho_E)$ (2.1) [0.5 т].

б) От условието за равновесие на цилиндъра Архимедовата сила трябва да уравновесява силата на тежестта: $F_A = G$ [0.5 т], $g\rho_P S(H-h) = g\rho_M SH$ [0.5 т]. Използвайки (2.1),

h = H\left[1 - \frac{\rho_M}{\rho_B - x(\rho_B-\rho_E)}\right]\quad (2.2)\ \textbf{[1 т]}

в) Използвайки (2.2), $h(0) = H\dfrac{(\rho_B-\rho_M)}{\rho_B}$ (2.3) [0.5 т], $h(1) = H\dfrac{(\rho_E-\rho_M)}{\rho_E}$ (2.4) [0.5 т].

г) Използвайки (2.3) и (2.4), $\varepsilon = \dfrac{h(1)-h(0)}{H} = \dfrac{H\frac{(\rho_E-\rho_M)}{\rho_E} - H\frac{(\rho_B-\rho_M)}{\rho_B}}{H} = \dfrac{\rho_M(\rho_B-\rho_E)}{\rho_B\cdot\rho_E}$ [1 т]. Тъй като за да плава цилиндърът във всички разтвори $\rho_M \le \rho_E$ , то $\varepsilon$ е максимално при $\rho_{\text{опт}} = \rho_E$ [1 т].

Тогава $\varepsilon = \dfrac{(\rho_B-\rho_E)}{\rho_B}$ [0.5 т] $= 0.2$ [0.5 т].

д) За да попълним таблицата заместваме дадените стойности в (2.2) и получаваме $h = H\cdot\dfrac{1-x}{5-x}$ (2.5). Таблицата е: [2 т]

$x$	$h$ , mm
0.0	40
0.2	33
0.4	26
0.6	18
0.8	10
1.0	0

е) От таблицата се вижда, че при промяна на $h$ с 1 mm, $x$ се променя с около 0.02 - 0.03 [1 т].

Оригинал в Архива: esenni_2009_9problems.pdf · официални решения: esenni_2009_9solutions.pdf