Съдържание

НЕСФ 2009, Специална тема — Задача 2. Съотношение за неопределеност

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Национално есенно състезание по физика, Варна, 31 октомври 2009 г. — Специална тема · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Съотношението за неопределеност позволява много често да се правят бързи оценки, без да се търси точно решение на разглежданите задачи. По-често съотношението за неопределеност се дава за импулса и координатата ( $\Delta P\Delta x \geq \hbar$ ), но понякога е удобно да се използва съотношението за неопределеност между енергията и интервала време ( $\Delta E\Delta t \geq \hbar$ ). Използвайки съотношението за неопределеност между енергията и интервала време, решете следващите подточки:

Фундаментални физични величини:

скоростта на светлината във вакуум, $c = 3{,}00.10^{8}\,m/s$ ;
редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1{,}05.10^{-34}$ J.s;
масата на електрона $m_e = 9{,}11.10^{-31}\,kg$ ;
възрастта на Вселената $10^{10}$ години.

а) Намерете масата на преносителя на силното взаимодействие (в електрони маси). За целта считайте, че радиусът на действие на силното взаимодействие е $R \sim 10^{-15}\,m$ , а скоростта, с която се движи преносителят на силното взаимодействие, е от порядъка на скоростта на светлината. [3 т.]

б) Ако приемете, че масата на преносителя на гравитационното взаимодействие (гравитона) е нула, и че скоростта, с която се движи преносителят на гравитационното взаимодействие е от порядъка на скоростта на светлината, то намерете радиуса на действие на гравитационното взаимодействие. [3 т.]

в) Когато става дума за точността, с която законът на Кулон установява зависимостта на електричната сила F от разстоянието r между зарядите, той обикновено се записва във вида:

F = k\frac{q_1 q_2}{r^{2+n}}

и се търси горна граница за поправката n. Косвената проверка на закона на Кулон се опира на едно от важните следствия на квантовата електродинамика: фотонът, посредник при електромагнитните взаимодействия, е безмасова частица, само ако поправката n в знаменателя на закона е нула, т. е. ако електричната сила е точно обратно пропорционална на квадрата от разстоянието между зарядите.

Използвайки съотношението за неопределеност на енергията и интервала време, определете по порядък точността, с която експериментално може да се провери минималната възможна горна граница на масата на фотона, и следователно косвено да се намери максималната точност, с която може да се определи закона на Кулон. [4 т.]

Отговори

Решение

а) За оценка на енергията, нека тя да е от порядъка на неопределеността в енергията, а за времето, през което протича взаимодействието, да е от порядъка на неопределеността във времето. Тогава можем да запишем приблизителното равенство:

\Delta E\Delta t \approx \hbar

Енергията е $\Delta E \approx mc^2$ , а времето на взаимодействие е приблизително $\Delta t \approx R/c \Rightarrow$

(mc^2).(R/c) \approx \hbar \;\Rightarrow\; m \approx \hbar/(Rc) \qquad [2\text{ т}]

m \approx 3{,}5\times10^{-28}\,kg \quad [0.5\text{ т}] \qquad m \approx 384\,m_e \quad [0.5\text{ т}]

б) За гравитационното взаимодействие имаме аналогично на предишната подточка $\Delta E\Delta t \approx \hbar$ , където енергията е $\Delta E \approx m_g c^2$ , а времето на взаимодействие е приблизително $\Delta t \approx R/c \Rightarrow$

(m_g c^2).(R/c) \approx \hbar \;\Rightarrow\; R \approx \hbar/(m_g c)

За масата на преносителя на гравитационното взаимодействие имаме $m_g \to 0 \Rightarrow R \to \infty$ [3 т]

в) Използваме съотношението за неопределеност между енергията $\Delta E$ на фотона и произволен интервал от време $\Delta t$ :

\Delta E\Delta t \geq \hbar.

Понеже неопределеността в енергията на фотона е $\Delta E = c^2\Delta m$ , където $c$ е скорост на светлината във вакуум, то неопределеността на масата на фотона $\Delta m$ не може да е по-малка от:

\Delta m \geq \frac{\hbar}{c^2\Delta t} \qquad [3\text{ т}]

Най-малка неопределеност на масата на фотона ще получим, като за $\Delta t$ използваме възможния най-голям интервал време – възрастта на Вселената. Ако за $\Delta t$ приемем стойността $10^{10}$ години, т. е. $10^{10}\times(365\ \text{дни})\times(24\ \text{часа})\times(3600\ \text{секунди})$ и използваме известните стойности за константата на Планк $\hbar$ и за скоростта c на светлината във вакуум, получаваме, че

\Delta m \geq 3{,}7\times10^{-69}\,kg \qquad [1\text{ т}]

Оригинал в Архива: esenni_2009_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2009_STsolutions.pdf