Съдържание

НЕСФ 2011, 10. клас — Задача 3. Работата – лесна и забавна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12–13 ноември 2011 г. — Тема за 10. клас · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Двама работници трябвало да пренесат $N = 10$ торби с цимент, с маса $m = 20\ \mathrm{kg}$ всяка, от платформата А на платформата В (вж. фиг. 3, а). За да си спестят време и усилия, работниците използвали следното устройство. Между двете платформи се движи без триене количка с маса $M = 30\ \mathrm{kg}$ . Количката е свързана към платформите чрез две еднакви пружини с коефициенти на еластичност $k = 50\ \mathrm{N/m}$ всяка. В състояние на равновесие количката се намира на еднакви разстояния $d = 1\ \mathrm{m}$ от платформите, като пружините са недеформирани.

Първоначално единият работник издърпва количката към платформата А и поставя торба с цимент в количката (вж. фиг. 3, б). След това освобождава количката и я оставя да се движи към платформата В, където другият работник взема торбата. Количката се връща сама до платформата А и процесът се повтаря, докато бъдат пренесени всички торби.

А) Колко време $t$ изминава от поставянето на първата торба, докато последната торба бъде пренесена до платформата В?

(Времето за поставяне и вземане на торбите се пренебрегва). [3,5 т.]

Б) Колко трябва да бъде максималната сила $f_{\max}$ на триене при покой между торбата и количката, така че торбата да не се хлъзга по количката? [3 т.]

В) Каква максимална скорост $v_{\max}$ достига количката при движението си между двете платформи? [3,5 т.]

Две схеми: количка между две платформи А и В, закачена с пружини; вляво в равновесие на разстояние d от всяка платформа, вдясно издърпана до платформата А с торба цимент. — Фиг. 3 — (а) количката с маса $M$ в равновесие между платформите А и В, на разстояние $d$ от всяка, свързана с двете пружини с коефициент $k$ ; (б) работникът е издърпал количката към платформата А и поставя торбата.

Отговори

Решение

А) Двете пружини са еквивалентни на една пружина с коефициент на еластичност:

$k_{\mathrm{eff}} = 2k$ . [0,5 т]

При движението си от А до В натоварената количка (с обща маса $M+m$ ) извършва половин период от хармонично трептене и изминава разстоянието между платформите за време:

$t_{A\to B} = \dfrac{T_{M+m}}{2} = \pi\sqrt{\dfrac{M+m}{k_{\mathrm{eff}}}} = \pi\sqrt{\dfrac{M+m}{2k}} \approx 2{,}2\ \mathrm{s}$ . [1,0 т]

В обратна посока количката е празна (с маса $M$ ) и изминава същото разстояние за време:

$t_{B\to A} = \dfrac{T_M}{2} = \pi\sqrt{\dfrac{M}{k_{\mathrm{eff}}}} = \pi\sqrt{\dfrac{M}{2k}} \approx 1{,}7\ \mathrm{s}$ . [1,0 т]

При пренасянето на $N$ торби количката изминава разстоянието между платформите $N$ пъти пълна и $N-1$ пъти празна. Следователно общото време за пренасяне на $N$ торби е:

$t = Nt_{A\to B} + (N-1)t_{B\to A} = 10\cdot 2{,}2\ \mathrm{s} + 9\cdot 1{,}7\ \mathrm{s} \approx 37\ \mathrm{s}$ . [1,0 т]

Б) Когато количката е отклонена на разстояние $d$ , й действа сила на еластичност:

$F = k_{\mathrm{eff}}d = 2kd$ . [0,5 т]

Когато количката е пълна, тази сила й придава ускорение:

$a = \dfrac{F}{M+m} = \dfrac{2kd}{M+m}$ . [0,5 т]

Ако разгледаме торбата като отделно тяло, нейното ускорение се дължи на силата $f$ на триене, с която й действа количката. От II принцип на Нютон следва:

$f = ma = \dfrac{2kdm}{M+m}$ . [1,0 т]

За да може торбата да се движи заедно с количката, без да се хлъзга спрямо нея, е нужно:

$f_{\max} \ge \dfrac{2kdm}{M+m} = 40\ \mathrm{N}$ . [1,0 т]

В) Количката се движи с максимална скорост, когато минава празна през равновесното си положение. [1,0 т]

Когато количката започва да се движи от платформата В, деформираните пружини имат потенциална енергия:

$E_p = \dfrac{1}{2}(2k)d^2 = kd^2$ . [0,5 т]

В момента, когато празната количка минава през равновесното си положение, тя има кинетична енергия:

$E_k = \dfrac{1}{2}Mv_{\max}^2$ [0,5 т]

От закона за запазване на енергията следва:

$\dfrac{1}{2}Mv_{\max}^2 = kd^2$ , [0,5 т]

откъдето:

$v_{\max} = d\sqrt{\dfrac{2k}{M}} \approx 1{,}8\ \mathrm{m/s}$ . [1,0 т]

Оригинал в Архива: esenni_2011_10problems.pdf · официални решения: esenni_2011_10solutions.pdf