Съдържание

НЕСФ 2011, 10. клас — Задача 2. Сензор за допир (тъчскрийн)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12–13 ноември 2011 г. — Тема за 10. клас · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Много съвременни електронни устройства използват екрани, чувствителни към допир. Тяхното действие се основава на различни физични принципи. В тази задача ще разгледате най-простият вид сензорен екран – резистивният екран.

Резистивният екран се състои от две проводящи пластини, разположени на малко разстояние една от друга. Между пластините е подадено напрежение от външен източник. При натиск върху екрана пластините се допират и по тях започва да протича ток. Тук ще разгледаме опростен модел на ”едномерен” резистивен екран, в който пластините представляват две успоредни тесни ленти $AB$ и $CD$ с еднакви дължини $l = 7.5\ \mathrm{cm}$ и постоянна площ на напречното им сечение. Горната лента има пренебрежимо малко съпротивление и е свързана към единия полюс на източника на напрежение през резистор със съпротивление $R_0 = 500\ \mathrm{k\Omega}$ . Съпротивлението на долната лента между точките $C$ и $D$ е $R_{CD} = 12\ \mathrm{k\Omega}$ . Двата й края са свързани към другия полюс на източника посредством два амперметъра A1 и A2. При допиране на двете пластини на разстояние $x$ от края $C$ амперметрите отчитат съответно токове $I_1 = 4\ \mathrm{\mu A}$ и $I_2 = 2\ \mathrm{\mu A}$ .

Схема на едномерен резистивен сензорен екран с резистор R0, ленти AB и CD, амперметри A1 и A2 и координата x на точката на допиране. — Фиг. 2 — опростеният „едномерен“ резистивен екран: горната лента $AB$ през резистора $R_0$ , долната лента $CD$ и амперметрите A1 и A2; допирът е на разстояние $x$ от края $C$ .

А) Начертайте еквивалентна схема на образуваната електрическа верига. Означете през кои от елементите на еквивалентната схема протичат токовете $I_1$ и $I_2$ . [2 т.]

Б) Получете израз и пресметнете числено координатата $x$ на точката на допиране. [2 т.]

В) Колко е напрежението $U_0$ на източника? [2 т.]

Г) Да приемем, че екранът е допрян едновременно в две точки с координати $x_1 = 1\ \mathrm{cm}$ и $x_2 = 4\ \mathrm{cm}$ . Начертайте еквивалентна схема на веригата в този случай и пресметнете токовете $I_1$ и $I_2$ . [4 т.]

Отговори

Решение

Електрическа схема: източник U0, резистор R0 последователно със успоредна двойка R1 (ток I1) и R2 (ток I2). — Еквивалентната схема при допир в една точка (отговор на подусловие А): $R_0$ последователно с успоредно свързаните $R_1$ и $R_2$ , захранени от $U_0$ .

А) Еквивалентната схема е показана на фигурата.

[0.5 т] за вярна схема

[0.5 т] за правилно означени токове.

Съпротивленията $R_1$ и $R_2$ са съответно:

$R_1 = R_{CD}\dfrac{x}{l}$ [0,5 т]

и $R_2 = R_{CD}\dfrac{l-x}{l}$ [0,5 т].

Б) Съпротивленията $R_1$ и $R_2$ са свързани успоредно и напреженията върху тях са равни. Следователно:

$R_1I_1 = R_2I_2$ [0,5 т]

или

$I_1R_{CD}\dfrac{x}{l} = I_2R_{CD}\dfrac{l-x}{l}$ . [0,5 т]

Оттук определяме:

$x = l\dfrac{I_2}{I_1+I_2} = 7{,}5\ \mathrm{cm}\,\dfrac{2\ \mathrm{\mu A}}{6\ \mathrm{\mu A}} = 2{,}5\ \mathrm{cm}$ . [1,0 т]

В) Големината на съпротивлението $R_1$ е:

$R_1 = 12\cdot10^{3}\ \Omega\,\dfrac{2{,}5\ \mathrm{cm}}{7{,}5\ \mathrm{cm}} = 4\cdot10^{3}\ \Omega$ , [0,5 т]

а напрежението върху него:

$U_1 = I_1R_1 = 4\cdot10^{3}\ \Omega\cdot 4\cdot10^{-6}\ \mathrm{A} = 1{,}6\cdot10^{-2}\ \mathrm{V}$ . [0,5 т]

Токът през резистора $R_0$ е:

$I = I_1 + I_2 = 6\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}$ [0,5 т]

Напрежението на източника е съответно:

$U_0 = U_1 + IR_0 = 1{,}6\cdot10^{-2}\ \mathrm{V} + 6\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}\cdot 5\cdot10^{5}\ \Omega \approx 3\ \mathrm{V}$ . [0,5 т]

Електрическа схема: източник U0, резистор R0 последователно със R1 (ток I1) и R2 (ток I2), между тях резистор R3 без ток. — Еквивалентната схема при едновременен допир в две точки (отговор на подусловие Г): $R_3$ е свързан така, че през него не тече ток.

Г) Еквивалентната схема е показана на фигурата.

[0,5 т] за вярно начертана схема

Съпротивленията са съответно:

$R_1 = R_{CD}\dfrac{x_1}{l} = 1{,}6\ \mathrm{k\Omega}$ [0,25 т]

$R_2 = R_{CD}\dfrac{l-x_2}{l} = 5{,}6\ \mathrm{k\Omega}$ [0,25 т]

$R_3 = R_{CD}\dfrac{x_2-x_1}{l} = 4{,}8\ \mathrm{k\Omega}$ [0,5 т]

През резистора $R_3$ не тече ток. Следователно еквивалентното съпротивление на веригата е:

$R = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_0 \approx 500\ \mathrm{k\Omega}$ , [0,25 т]

а токът във веригата е:

$I = \dfrac{U_0}{R} \approx 6\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}$ . [0,25 т]

За определяне на токовете имаме следните уравнения:

$R_1I_1 = R_2I_2$ [0,5 т]

и $I_1 + I_2 = I$ , [0,5 т]

откъдето:

$I_1 = I\dfrac{R_2}{R_1+R_2} \approx 4{,}7\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}$ [0,5 т]

$I_2 = I\dfrac{R_1}{R_1+R_2} \approx 1{,}3\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}$ [0,5 т]

Оригинал в Архива: esenni_2011_10problems.pdf · официални решения: esenni_2011_10solutions.pdf