НЕСФ 2011, Специална тема — Задача 2. Черна дупка

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12.11.2011 – 13.11.2011 г. — Специална тема · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Част 1. Черна дупка е обект с много силно гравитационно поле – толкова силно, че втора космическа скорост е по-голяма от скоростта на светлината. Поради това дори и светлината не е в състояние да преодолее гравитацията и да напусне космическия обект. Граничният радиус, при който светлината не може да напусне черната дупка, се нарича радиус на Шварцшилд (това е радиусът на черната дупка).

Фундаментални физични величини:

• скоростта на светлината във вакуум, $\mathrm{c} = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}$;
• редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{\mathrm{h}}{2\pi} = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$;
• гравитационна константа $\mathrm{G} = 6{,}6742\ .10^{-11}\ \mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$
• масата на Земята $\mathrm{M}_{\mathrm{з}} = 5{,}9742\ .10^{24}\ \mathrm{kg}$;
• масата на електрона $\mathrm{m_e} = 9{,}11.10^{-31}\mathrm{kg}$;
• масата на протона $\mathrm{m_p} = 1{,}672.10^{-27}\mathrm{kg}$.

а) Намерете радиуса на Шварцшилд $\mathrm{R}$ за тяло с маса $\mathrm{M}$. [2 т.]

б) Намерете числено радиуса на кълбото, до който трябва да се свие Земята, за да се превърне в черна дупка, ако Земята има маса $\mathrm{M}_{\mathrm{з}}$. [2 т.]

в) Част 2. Съотношението за неопределеност (принцип за неопределеност на Хайзенберг) позволява много често да се правят бързи оценки, без да се търси точно решение на разглежданите задачи. Съотношението за неопределеност за импулса и координатата се дава като $\Delta\mathrm{P}\Delta\mathrm{x} \ge \hbar$.

Разгледайте фотон с енергия $\mathrm{E} = \mathrm{Pc}$, който е затворен в черна дупка с радиус $\mathrm{R}$. Тази енергия съответства на определена средна абсолютна температура $\mathrm{T}$ на черната дупка, която се дава със съотношението $\mathrm{E} = \mathrm{kT}$, където $\mathrm{k}$ е константа на Болцман. Оценете температурата на черна дупка като използвате съотношението за неопределеност на Хайзенберг. [2 т.]

г) Използвайки съотношението за неопределеност на Хайзенберг, намерете (символно и числено) долната граница на масата ($\mathrm{M}_{\mathit{мин}}$), под която черната дупка няма да може да съществува от гледна точка на квантовата механика. [4 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: esenni_2011_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2011_STsolutions.pdf