Съдържание

НЕСФ 2012, 9. клас — Задача 3. Зарядите на Георги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика – Вършец, 10 ноември 2012 г. Тема за 9 клас · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

Квадрат с диагонал $2\ell$: двата заряда $+q$ са в горните върхове, а двата заряда $-q$ – в долните. — Фигура 5.

Георги имал четири електрични заряда във вакуум. Два били положителни със заряд $+q$ и два били отрицателни със заряд $-q$ . Един ден Георги решил да подреди зарядите във формата на квадрат с диагонал $2l$ (Фигура 5.) и да изследва получената система. Помогнете на Георги!

а) Намерете потенциала на електричното поле в центъра на квадрата. [1 т.]

б) Намерете интензитета на електричното поле и посоката му в центъра на квадрата. [2 т.]

в) Намерете потенциалната енергия на системата. [3 т.]

г) Определете големината на силата, действаща на всеки един от зарядите. [4 т.]

Отговори

Решение

а) Потенциалът в центъра е сума от потенциалите, създавани от всеки от зарядите поотделно.

\varphi = 2\varphi_+ + 2\varphi_- = 2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{l} - 2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{l} = 0

(1 т.)

б) Прилагаме принципа за суперпозиция. Интензитетът в центъра е векторна сума от интензитетите на всеки от зарядите в тази точка. Големината на интензитета, създаван от всеки заряд е $E_1$ . (1 т. за схема + 1 т. за пресмятане )

Квадратът от Фигура 5 с двата диагонала; в центъра са нанесени две червени стрелки с надпис $2E_1$, насочени косо надолу, и получената сума $E$, насочена вертикално надолу. — Векторно събиране на интензитетите в центъра на квадрата (отговор на подусловие б).

E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{l^2}

E = 2\sqrt{2}E_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{l^2}

в) Има повече от един начин за намирането на енергията на системата. Един от тях е намирането на потенциалните енергии отделно на всички двойки заряди и събирането им. Друг вариант е използването на дефиницията, че потенциалната енергия на системата е $\frac{1}{2}\sum q_i\varphi_i$ , което е малко по-трудоемко, но практически същото. Ще илюстрираме първия подход. Има шест двойки заряди.

E_p = \sum_{i=1}^{6} E_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{\sqrt{2}l} + \frac{q^2}{\sqrt{2}l} - \frac{q^2}{\sqrt{2}l} - \frac{q^2}{\sqrt{2}l} - \frac{q^2}{2l} - \frac{q^2}{2l}\right) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l}

(3 т.)

Горният ляв заряд с две червени стрелки $F_1$ (наляво и надолу), зелена стрелка $F_2$ по диагонала, зелената им сума без означение и синята резултантна сила $F$. — Силите, действащи на горния ляв заряд (отговор на подусловие г).

г) (1,5 т.)

Ще разгледаме само горният ляв заряд, тъй като ситуацията е симетрична и няма причина на някой от зарядите да действа по-голяма сила, отколкото на другите. Силите $F_1$ се създават от близкостоящите заряди, а силата $F_2$ се създава от отдалечения заряд. Векторната сума на двете $F_1$ е стрелката, която е без означение. Впоследствие намираме векторната сума на $F_2$ с нея ( $F$ ), която се явява и търсената сила.

F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{2l^2}

F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4l^2}

F_1 = 2F_2

F = \sqrt{\left(\sqrt{2}F_1\right)^2 + \left(F_2\right)^2} = \sqrt{\left(2\sqrt{2}F_2\right)^2 + \left(F_2\right)^2} = 3F_2

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3q^2}{4l^2}

(2,5 т.)

Оригинал в Архива: esenni_2012_9problems.pdf · официални решения: esenni_2012_9solutions.pdf