НЕСФ 2013, 10. клас — Задача 2. Свързани кондензатори

• а) $q = \frac{4C_0E}{5} = \frac{4\varepsilon_0 SE}{5d} \approx 2{,}1\ \mathrm{nC}$

• б) $U = \frac{q}{4C_0} = \frac{E}{5} = 3\ \mathrm{V}$

• в) 0 A

  В бобината се индуцира равен по големина и противоположен по посока ток.

• г) $I_{\max} = 2E\sqrt{\frac{C_0}{5L}} = 2E\sqrt{\frac{\varepsilon_0 S}{5dL}} \approx 4\ \mathrm{mA}$

а) Капацитетът на горния кондензатор е $\dfrac{\varepsilon_0 S}{d} \equiv C_0$ [0,5 т.], а капацитетът на долния – $\dfrac{\varepsilon_0 2S}{d/2} = 4C_0$. [0,5 т.] Кондензаторите са свързани последователно [0,5 т.] и зарядите им съвпадат. [0,5 т.] Сумата от напреженията между електродите им е равна на $E$ [0,5 т.], т.е. $E = \dfrac{q}{C_0} + \dfrac{q}{4C_0}$. [0,5 т.] Оттук следва, че зарядът на горния кондензатор е $q = \dfrac{4C_0E}{5} = \dfrac{4\varepsilon_0 SE}{5d}$ [0,5 т.], т.е. $q \approx 2{,}1$ nC. [0,5 т.]

б) Напрежението между електродите на долния кондензатор $U = \dfrac{q}{4C_0} = \dfrac{E}{5} = 3$ V. [1 т.]

в) Електричният ток през бобината веднага след превключването е равен на нула, тъй като в бобината се индуцира равен по големина и противоположен по посока ток. [1 т.]

г) Енергията на кондензатор със заряд $q$ и капацитет $C$ е $W_E = \dfrac{q^2}{2C}$. [0,5 т.] Енергията на бобина с индуктивност $L$, през която тече ток $I$, е $W_B = \dfrac{LI^2}{2}$. [0,5 т.] В нашия случай през бобината протича максимален ток, когато цялата енергия на кондензаторите преди превключването се прехвърли в бобината [1 т.], т.е. $\dfrac{LI_{\max}^2}{2} = \dfrac{q^2}{2C_0} + \dfrac{q^2}{8C_0} = \dfrac{5q^2}{8C_0} = \dfrac{2C_0E^2}{5}$. [1 т.] Оттук следва, че $I_{\max} = 2E\sqrt{\dfrac{C_0}{5L}} = 2E\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0 S}{5dL}}$ [0,5 т.], т.е. $I_{\max} \approx 4$ mA. [0,5 т.]