НЕСФ 2013, 10. клас — Задача 3. Трептяща система

• а) $F_{\mathrm{O}} = 2(mg+F) \approx 10\ \mathrm{N}$
• б) $k = \frac{mg+F}{\Delta x} \approx 50\ \mathrm{N/m}$
• в) $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m\Delta x}{mg+F}} \approx 0{,}49\ \mathrm{s}$
• г) $A = \Delta x - \frac{mg}{k} \approx 4\ \mathrm{cm}$
• д) $F_{\min} = 2(2mg - k\Delta x) = 2(mg - F) \approx 2\ \mathrm{N}$

а) Големината на силата, приложена в т. О, е $F_{\mathrm{O}} = k\Delta x + mg + F$. [1 т.] В същото време $k\Delta x = mg + F$ от условието за статичност на системата. [0,5 т.] Така се получава, че $F_{\mathrm{O}} = 2(mg+F) \approx 10\ \mathrm{N}$. [0,5 т.]

б) От $k\Delta x = mg + F$ следва, че $k = (mg+F)/\Delta x$ [0,5 т.], т.е. $k \approx 50\ \mathrm{N/m}$. [0,5 т.]

в) Периодът на трептене $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. [0,5 т.] Като заместим $k$ с намереното по-горе, получава се, че $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m\Delta x}{mg+F}} \approx 0{,}49\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]

г) Силата на тежестта, действаща върху теглилката, отмества равновесното положение на теглилката надолу с $\Delta x_0 = \dfrac{mg}{k}$ и съответно равновесното положение на подвижния край на пружината е отместено нагоре с $\Delta x_0 = \dfrac{mg}{k}$. [1 т.] По време на трептенето крайното горно положение на подвижния край на пружината съвпада с положението му преди прерязването на нишката. [0,5 т.] Така за амплитудата на трептенето се получава $A = \Delta x - \Delta x_0 = \Delta x - \dfrac{mg}{k}$. [1 т.] В крайна сметка $A \approx 4\ \mathrm{cm}$. [0,5 т.]

д) Големината на силата, приложена в т. О, е равна на удвоената сила, с която пружината дърпа теглилката. [0,5 т.] Силата е минимална, когато пружината е най-малко разтегната, което съответства на най-високото положение на теглилката. [0,5 т.] Така $F_{\min} = 2\left[k\Delta x - 2(k\Delta x - mg)\right]$ [1 т.], или с други думи $F_{\min} = 2(2mg - k\Delta x) = 2(mg - F)$. [0,5 т.] Числената стойност за големината на силата е $F_{\min} \approx 2\ \mathrm{N}$. [0,5 т.]