Съдържание

НЕСФ 2013, 9. клас — Задача 3. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2013

Национално есенно състезание по физика, гр. Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Тема за 9. клас · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

Положителен точков заряд $q = 1\ \mathrm{\mu C}$ и отрицателен точков заряд $-2q$ са закрепени неподвижно върху правата $a$ на разстояние $L = 1\ \mathrm{m}$ един от друг (фиг. 4). Намерете всички точки от правата $a$ , в които:

А) интензитетът $E$ на електричното поле на системата от два заряда е нула. Определете на какво разстояние $x$ се намира всяка от тях от заряда $q$ . Направете чертеж. Посочете аргументи, че не съществуват и други точки, в които интензитетът е нула. [4 т.]

Б) потенциалът $\varphi$ на електричното поле на системата от два заряда е нула. Определете на какво разстояние $x$ се намира всяка от тях от заряда $q$ . Посочете аргументи, че не съществуват и други точки, в които потенциалът е нула. Направете чертеж. [3 т.]

В) В коя от точките на правата a, определени в подусловия А) и Б), трябва да се постави положителен пробен заряд $q_0$ , за да има той най-малка електрична потенциална енергия $W_{\min}$ ? Пресметнете числената стойност на енергията $W_{\min}$ , ако, $q_0 = 1\ \mathrm{nC}$ . [3 т.]

Полезна формула: потенциал на електростатичното поле на точков заряд $\varphi = \dfrac{kq}{r}$ ; ( $k = 9{\cdot}10^{9}\ \mathrm{N{\cdot}m^2/C^2}$ ).

Решение

А) Съгласно принципа на суперпозицията интензитетът на полето на системата е векторна сума от интензитетите на полетата на двата точкови заряда. $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$ . Тъй като интензитетът на полето на точков заряд е обратнопропорционален на квадрата на разстоянието до заряда ( $E \propto \dfrac{1}{r^2}$ ), то $E = 0$ при $r \to \infty$ , т.е. полето е нула в безкрайно отдалечените точки от двете страни на правата a [0,5 точки]

В отсечката между двата заряда интензитетите $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ имат еднаква посока (фиг. 2), затова сумата им не може да е нула ( $\vec{E} \ne 0$ ) [0,5 точки]

Отдясно на заряда $-2q$ полето също не може да е нула (освен на безкрайност), защото там по-големия по модул заряд $-2q$ създава по-силно поле, което не може да бъде компенсирано от полето на заряда $q$ , който е и по малък (по модул), и е по-отдалечен [1 точка]

Точка с $\vec{E} = 0$ може да има само вляво от заряда $q$ . За такава точка (точка A на фиг.2)

E = \frac{kq}{x^2} - \frac{k2q}{(L+x)^2} = 0,

[0,5 точки]

Това е квадратно уравнение за $x$ , чийто корени са $x = L(1 \pm \sqrt{2})$ . Физичен смисъл има само положителният корен

x = L(1+\sqrt{2}) = 2{,}4\ \mathrm{m}

[1,5 точки]

Б) Потенциалът е нула в безкрайно отдалечените точки [0,5 точки]

Отдясно на заряда $-2q$ потенциалът не може да е нула (освен на безкрайност), защото там този по-голям по модул заряд създава по-голям (по модул) отрицателен потенциал, който не може да бъде компенсиран от положителния потенциал на полето на заряда $q$ , защото зарядът $q$ е и по малък (по модул), и е по-отдалечен [0,5 точки]

Потенциалът е нула само в точките $B$ и $C$ , разположени от двете страни на заряда $q$ (фиг. 3), които са на разстояния $x_1$ и $x_2$ от заряда $q$ , 2 пъти по-малки от съответните разстояния от тези точки до заряда $-2q$ (потенциалът е правопропорционален на големината на точковия заряд и обратнопропорционален на разстоянието до него). Действително, от равенствата

\varphi_1 = \frac{kq}{x_1} - \frac{k2q}{L - x_1} = 0 \quad \text{и} \quad \varphi_2 = \frac{kq}{x_2} - \frac{k2q}{L + x_2} = 0

определяме

x_1 = L/3 = 0{,}33\ \mathrm{m} \qquad \text{и} \qquad x_2 = L = 1\ \mathrm{m}

[1 точка] и [1 точка]

В) Във всички точки с нулев потенциал потенциалната енергия на пробния заряд също е нула:

W = q_0\varphi = 0

[1 точка]

Точка A, където интензитетът на полето е нула (фиг. 2), има потенциал

\varphi_A = \frac{kq}{x} - \frac{k2q}{L+x} = -\frac{kq}{L}\left(\sqrt{2}-1\right)^2 \approx -0{,}17\frac{kq}{L},

който е отрицателен [1 точка]

Следователно в точка A положителният пробен заряд $q_0$ има най-малка (отрицателна) потенциална енергия

W_{\min} = q_0\varphi_A = -0{,}17\frac{kq_0 q}{L} = -1{,}5{\cdot}10^{-6}\ \mathrm{J}

[1 точка]

Оригинал в Архива: esenni_2013_9problems.pdf · официални решения: esenni_2013_9solutions.pdf