НЕСФ 2013, Специална тема — Задача 2. Метаматериали

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Специална тема · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

В последното десетилетие е модерно да се създават метаматериали – изкуствени материали, проектирани да имат свойства, които не са достъпни в природата. Типичен пример е материал с отрицателен показател на пречупване (например $n = -1$).

а) 2.1 Метаматериали в класическата оптика

Начертайте ходовете на двата лъча от Фигура 1 и отбележете образите на източника A. [2 т.]

б) 2.2 Метаматериали в релативистката оптика

Нека сега разгледаме отправна система $K'$, която се движи с постоянна скорост $u$ спрямо неподвижна система $K$ . Нека скоростта $u$ да е насочена по оста $x$ и в момента $t = t' = 0$ началото $O'$ (начало на $K'$) да съвпада с началото $O$ (начало на $K$ ). Нека в точка от отправната система $K$ с координати $x, y, z$ в момента от време $t$ става някакво събитие. Координатите $x', y', z'$ и времето $t'$ на събитието, определени от наблюдател в $K'$, са свързани в специалната теория на относителността чрез Лоренцовите трансформации:

$t' = \frac{t - xu/c^{2}}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},$

$x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},\quad y' = y,\ \ z' = z.$

Импулсът $P_x, P_y, P_z$ и енергията $E$ на частица в отправна система $K$ са свързани с импулса $P_x', P_y', P_z'$ и енергията $E'$ за наблюдател в $K'$ чрез Лоренцовите трансформации за импулс и енергия:

$P_x' = \frac{P_x - Eu/c^{2}}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},\ \ P_y' = P_y,\ P_z' = P_z,$

$E' = \frac{E - P_x u}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}.$

Приемете, че импулсът на фотон в среда с показател на пречупване n е p = n $\hbar\omega$/c.

Използвайки Лоренцовите трансформации за импулс и енергия и разглеждайки фотона като частица с енергия $E = \hbar\omega$, насочен под ъгъл $\vartheta$ спрямо оста $x$ , изведете релативисткия ефект на Доплер (връзката между честота $\omega$ за наблюдател в $K$ и честотата $\omega'$ за наблюдател в $K'$). [2 т.]

в) Нека средата има показател на пречупване $n = -1$ и нека имаме източник на светлина в отправна система $K'$, който излъчва фотони с честота $\omega'$, отдалечавайки се успоредно на наблюдател в $K$ . Намерете каква е честотата $\omega$ в отправна система $K$ . [0,75 т.]

г) Нека средата има показател на пречупване $n = -1$ и нека имаме източник на светлина в отправна система $K'$, който излъчва фотони с честотата $\omega'$, приближавайки се успоредно на наблюдател в $K$ . Намерете каква е честотата $\omega$ в отправна система $K$ . [0,75 т.]

д) Заредена частица с енергия на покой $E_0$ , движеща се праволинейно и равномерно със скорост $\left|u\right| > \left|c/n\right|$ през материална среда с показател на пречупване $n$ , става източник на светлина (ефект на Вавилов-Черенков). Като използвате законите за запазване на енергията и импулса, определете ъгъла $\vartheta$ , под който става това излъчване.

Упътване: Приемете, че енергията на излъчен фотон $\hbar\omega$ е много по-малка от енергията на покой на заредената частица ( $\hbar\omega/E_0\ \hbar\ 1$ ). Какво е направлението на излъчване на фотоните, ако $n > 0$ и ако $n < 0$ ? [2 т.]

е) В нелинейна кристална среда, която има показател на пречупване $n_\omega$ за честота $\omega$ и едновременно с това има показател на пречупване $n_{2\omega}$ за честота $2\omega$ , се раждат два фотона с честота $\omega$ при удара на фотон с честота $2\omega$ в един от възлите на кристалната решетка. Определете посоката на фотоните с честота $\omega$ спрямо посоката на разпространение на фотона с честота $2\omega$ , ако $n_\omega = 1$, а $n_{2\omega} = -1$.

Упътване: Приемете, че енергията на падналия фотон $\hbar\omega$ е много по-малка от енергията на покой на кристалния възел ( $\hbar\omega/E_0\ \hbar\ 1$ ), тоест считайте, че кристалният възел остава на място след удара. [2,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2013_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2013_STsolutions.pdf