Съдържание

Условие Част 1. (4 т.)Част 2. (4 т.)Част 3. (2 т.)Решение

НЕСФ 2014, 7. клас — Задача 1. Стреляй в целта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 7. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

В тази задача приемаме, че стрелите се движат равномерно и праволинейно от момента на изстрелване до забиването в мишената. Трите части на задачата са независими.

Част 1. (4 т.)

За да спечели принцеса Драупади, принц Арджуна трябва да изстреля стрела, която да мине между спиците на въртящо се колело без да бъде докосната от тях. Колелото има $n = 100$ много тънки спици и извършва едно пълно завъртане за $T = 1\ \mathrm{s}$ (виж Фиг. 1). Стрелата е тънка пръчка с дължина $l = 60\ \mathrm{cm}$ . Принцът я изстрелва със скорост $v = 50\ \mathrm{m/s}$ . Възможно ли е да спечели принцесата?

Забележка: $n$ спици разделят колелото на $n$ еднакви сектора.

Част 2. (4 т.)

Робин Худ трябва да изстреля последователно три стрели, които да пристигнат в мишената едновременно. Той прилага различен опън на тетивата (опъната нишка на лък, чрез която се изстрелват стрелите) при всеки изстрел, така че стрелите излитат с различна скорост. На Фиг. 2 е показана връзката между силата, с която се опъват тетивата, и съответната скорост на стрелата. За първата стрела Робин опъва тетивата със сила $F = 120\ \mathrm{N}$ . Каква сила трябва приложи върху тетивата при втората и третата стрела, така че трите да пристигнат едновременно в мишената, която е на разстояние $L = 120\ \mathrm{m}$ от Робин? Втората стрела е изстреляна $t_0 = 1\ \mathrm{s}$ след първата, а третата – $t_0 = 1\ \mathrm{s}$ след втората.

Част 3. (2 т.)

Вилхелм Тел изстрелва с лъка си стрела, която пронизва ябълка преди да се забие в мишената (виж Фиг. 3). Първоначално стрелата има скорост $v_0 = 35\ \mathrm{m/s}$ . След пронизването на ябълката скоростта ѝ намалява с 10%. Разстоянието между стрелеца и мишената е $L = 100\ \mathrm{m}$ . На какво разстояние от Вилхелм трябва да се намира ябълката, така че стрелата да се забие в мишената точно $t_0 = 3\ \mathrm{s}$ след като е изстреляна?

Решение

Част 1.

Максималното време, с което разполага стрелата, за да премине между спиците, е $t = \dfrac{T}{n} = 0{,}01\ \mathrm{s}$ . [2,5 т.]

Например, ако върхът на стрелата достигне равнината на колелото в момент, в който спица А е в положение „12 часа“ (точката на „пронизване“ е означена на чертежа), то стрелата разполага с време за преминаване само докато съседната спица В на свой ред заеме положение „12 часа“ (в рамките на един оборот на колелото).

Началното и крайното положение на колелото.

Имайки предвид дължината на стрелата, тя се нуждае от време $t_{\text{стрела}} = \dfrac{l}{v} = 0{,}012\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

Сравняваме: $t_{\text{стрела}} > t$ , следователно принцът не може да спечели принцесата. [0,5 т.]

Забележка: Би могъл да я спечели, ако скъси стрелата си с поне 10 cm.

Част 2.

Първоначалното опъване е със сила $F_1 = 120\ \mathrm{N}$ , следователно скоростта на първата стрела е $v_1 = 40\ \mathrm{m/s}$ . [0,5 т.]

Времето, за което първата стрела достига мишената, е $t = \dfrac{L}{v_1} = \dfrac{120}{40} = 3\ \mathrm{s}$ . [0,5 т.]

Втората стрела е изстреляна $t_0$ след първата със скорост $v_2$ . Следователно $t = t_0 + \dfrac{L}{v_2}$ , откъдето $v_2 = \dfrac{L}{t - t_0} = \dfrac{120}{3-1} = 60\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

От графиката – съответната сила на опъване е $F_2 = 180\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.]

Третата стрела има скорост $v_3$ . Изстреляна е $t_0$ след втората и $2t_0$ след първата. Следователно $t = 2t_0 + \dfrac{L}{v_3}$ , откъдето $v_3 = \dfrac{L}{t - 2t_0} = \dfrac{120}{3-2} = 120\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

От графиката – съответната сила на опъване е $F_3 = 360\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.]

Част 3.

Ако разстоянието от Вилхелм до ябълката е $x$ , то от ябълката до мишената е $L - x$ .

Времето, за което стрелата ще долети при ябълката е $t_1 = \dfrac{x}{v_0}$ ; времето, за което стрелата ще измине разстоянието от ябълката до мишената е $t_2 = \dfrac{L-x}{0{,}9v_0}$ . [0,5 т.]

От условието следва, че $t_1 + t_2 = t_0$ . Заместваме изразите за $t_1$ и $t_2$ , т.е. $t_0 = \dfrac{x}{v_0} + \dfrac{L-x}{0{,}9v_0}$ , откъдето $x = 10L - 9t_0v_0 = 10\cdot 100 - 9\cdot 3\cdot 35 = 55\ \mathrm{m}$ . [1,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2014_7problems.pdf · официални решения: esenni_2014_7solutions.pdf