НЕСФ 2014, 7. клас — Задача 2. Солено или сладко

а)

Поради избора на стойност за $\rho_0 = 1{,}23\ \mathrm{g/cm^3}$, определянето на вида на разтвора – солен или сладък, може да стане само след намиране на плътността на солен разтвор, приготвен с максималното количество сол, т.е. най-соления разтвор.

В подточка а) се дават точки само за най-соления разтвор.

Ако е намерена плътността на най-сладкия разтвор, то се дават съответните точки от подточка в).

За най-соления разтвор:

Обемът на $m_{\text{вода}} = 1\ \mathrm{g}$ вода е $V_{\text{вода}} = 1\ \mathrm{cm^3}$.

Обемът на 0,4 g сол е $V_{\text{сол}} = \dfrac{m_{\text{сол}}}{\rho_{\text{сол}}} = \dfrac{0{,}4}{2{,}10} = 0{,}19\ \mathrm{cm^3}$. [0,2 т.]

Масата на най-соления разтвор е $m_{\text{солен р-р}} = m_{\text{сол}} + m_{\text{вода}} = 1 + 0{,}40 = 1{,}40\ \mathrm{g}$. [0,4 т.]

Обемът на най-соления разтвор е $V_{\text{солен р-р}} = V_{\text{вода}} + V_{\text{сол}} = 1 + 0{,}19 = 1{,}19\ \mathrm{cm^3}$. [0,4 т.]

Плътността на най-соления разтвор е $\rho_{\text{солен р-р}} = \dfrac{m_{\text{солен р-р}}}{V_{\text{солен р-р}}} = \dfrac{1{,}40}{1{,}19}\ \mathrm{g/cm^3} \approx 1{,}18\ \mathrm{g/cm^3}$. [0,5 т.]

Разтворът е сладък, тъй като плътността му е по-голяма от максималната плътност за солен разтвор. [0,5 т.]

б)

Плътността на разтвора е $\rho_0 = \dfrac{m_0}{V_0} = 1{,}23\ \mathrm{g/cm^3}$.

Масата $m_0$ на разтвора, приготвен от 1 g вода (по условие) и маса $m_x$ захар, е $m_0 = m_{\text{вода}} + m_x$. [0,5 т.]

Обемът $V_0$ на разтвор, приготвен с обем $V_x$ захар, е $V_0 = V_{\text{вода}} + V_x$. [0,5 т.]

От друга страна (плътността на захарта $\rho_{\text{захар}}$ е известна) $V_x = \dfrac{m_x}{\rho_{\text{захар}}}$. [0,5 т.]

Заместваме $\rho_0 = \dfrac{m_0}{V_0} = \dfrac{m_{\text{вода}} + m_x}{V_{\text{вода}} + V_x} = \dfrac{m_{\text{вода}} + m_x}{V_{\text{вода}} + \frac{m_x}{\rho_{\text{захар}}}}$, следователно $m_x = \rho_{\text{захар}}\dfrac{\rho_0 V_{\text{вода}} - m_{\text{вода}}}{\rho_{\text{захар}} - \rho_0}$ или $m_x = 1{,}40\,\dfrac{1{,}23 - 1}{1{,}40 - 1{,}23} \approx 1{,}89\ \mathrm{g}$. [1,5 т.]

в)

За плътността на най-сладкия разтвор:

Обемът на 5 g захар е $V_{\text{захар}} = \dfrac{m_{\text{захар}}}{\rho_{\text{захар}}} = \dfrac{5}{1{,}40} = 3{,}57\ \mathrm{cm^3}$. [0,2 т.]

Масата на най-сладкия разтвор е $m_{\text{сладък р-р}} = m_{\text{захар}} + m_{\text{вода}} = 1 + 5 = 6\ \mathrm{g}$. [0,4 т.]

Обемът на най-сладкия разтвор е $V_{\text{сладък р-р}} = V_{\text{вода}} + V_{\text{захар}} = 1 + 3{,}57 = 4{,}57\ \mathrm{cm^3}$. [0,4 т.]

Плътността на най-сладкия разтвор е $\rho_{\text{сладък р-р}} = \dfrac{m_{\text{сладък р-р}}}{V_{\text{сладък р-р}}} = \dfrac{6}{4{,}57}\ \mathrm{g/cm^3} \approx 1{,}31\ \mathrm{g/cm^3}$. [0,5 т.]

За да плава топчето в сладък, но не и в солен разтвор, средната му плътност трябва да е по-голяма от тази на най-соления разтвор и по-малка от плътността на най-сладкия: $\rho_{\text{солен р-р}} < \rho_{\text{топче}} < \rho_{\text{сладък р-р}}$ или $1{,}18\ \mathrm{g/cm^3} < \rho_{\text{топче}} < 1{,}31\ \mathrm{g/cm^3}$. [1 т.]

Нека кухината заема част $V_{\text{кухина}} = xV_{\text{топче}}$ от обема на топчето. Тогава алуминият заема обем $V_{\text{алуминий}} = (1-x)V_{\text{топче}}$.

Масата на топчето е $m_{\text{топче}} = \rho_{\text{алуминий}}V_{\text{алуминий}} = (1-x)\rho_{\text{алуминий}}V_{\text{топче}}$. [0,5 т.]

Средната плътност на топчето е $\rho_{\text{топче}} = \dfrac{m_{\text{топче}}}{V_{\text{топче}}} = \dfrac{(1-x)\rho_{\text{алуминий}}V_{\text{топче}}}{V_{\text{топче}}} = (1-x)\rho_{\text{алуминий}}$. [0,5 т.]

Най-малката средна плътност на топчето определя максималната кухина. [0,25 т.]

Тя се намира от равенството $\rho_{\text{топче}} = \rho_{\text{солен р-р}}$ или $1{,}18 = (1-x)2{,}7$. Тогава $x \approx 0{,}56$. [0,5 т.]

Най-голямата средна плътност на топчето определя минималната кухина. [0,25 т.]

Тя се намира от равенството $\rho_{\text{топче}} = \rho_{\text{сладък р-р}}$ или $1{,}31 = (1-x)2{,}7$. Тогава $x \approx 0{,}51$. [0,5 т.]