Съдържание

НЕСФ 2014, 8. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 8. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Условията А и Б са независими.

А Тяло започва движението си от състояние на покой. Първите $t$ секунди тялото се движи с ускорение $a$ , следващите $2t$ секунди – с ускорение $a/2$ и още $3t$ секунди – с ускорение $a/3$ . Определете средната скорост на движение на тялото за целия интервал от време. [4,5 т.]

Б Тяло, движещо се равноускорително, през първите $t = 4\ \mathrm{s}$ от наблюдение на движението му изминава път $s_1 = 24\ \mathrm{m}$ . През следващите $t = 4\ \mathrm{s}$ тялото изминава път $s_2 = 64\ \mathrm{m}$ . Какъв път ще измине тялото през следващия трети интервал $t = 4\ \mathrm{s}$ ? [5,5 т.]

Отговори

Решение

А. По определение средната скорост на движение за посочения интервал от време е $V = \dfrac{s}{t_\mathrm{общ}}$ , [0,5 т.] където общият изминат път $s = s_1 + s_2 + s_3$ [0,5 т.], а $t_\mathrm{общ} = 6t$ [0,5 т.]. През първия интервал $t$ движението е равноускорително без начална скорост и $s_1 = \dfrac{at^2}{2}$ . [0,5 т.]

През втория времеви интервал движението е равноускорително с начална скорост $V_0 = at$ [0,5 т.]. Тогава имаме

s_2 = V_0(2t) + \frac{(a/2)(2t)^2}{2} = 3at^2.

[0,5 т.]

През третия времеви интервал движението е също равноускорително с начална скорост, но нейната стойност е $V_0 = at + (a/2)(2t) = 2at$ [0,5 т.]. Тогава изминатият път е

s_3 = V_0(3t) + \frac{(a/3)(3t)^2}{2} = 6at^2 + \frac{3at^2}{2} = \frac{15}{2}at^2.

[0,5 т.]

Като заместим получените стойности във формулата за средната стойност на скоростта получаваме

V = \frac{s}{t_\mathrm{общ}} = \frac{11}{6}at.

[0,5 т.]

Възможно е и друго решение. Тъй като движението във всеки интервал от време е равноускорително, то може да бъде заменено с равномерно, чиято скорост е равна на средната скорост в съответния интервал [0,5 т.] – $V_\mathrm{ср} = (V_\mathrm{нач} + V_\mathrm{кр})/2$ [0,5 т.]. Тогава имаме

V_1 = \frac{at}{2}, \quad V_2 = \frac{3at}{2}, \quad V_3 = \frac{5at}{2},

[1,5 т.]

при което получаваме

V = \frac{s}{t_\mathrm{общ}} = \frac{V_1 t + V_2(2t) + V_3(3t)}{6t} = \frac{11}{6}at.

[2 т.]

Б. Пътят, изминат от тялото за първия интервал $t$ , е

s_1 = V_0 t + \frac{at^2}{2},

[1 т.]

където началната скорост $V_0$ и ускорението $a$ са неизвестни величини. През втория интервал $t$ началната скорост е $V = V_0 + at$ [0,5 т.] при същото ускорение $a$ . Тогава изминатият през този интервал път е

s_2 = vt + \frac{at^2}{2} = V_0 t + \frac{3at^2}{2}.

[0,5 т.]

От двата израза можем да определим началната скорост $V_0$ и ускорението $a$ . Тогава получаваме

V_0 = \frac{3s_1 - s_2}{2t} = 1\ \mathrm{m/s},

[1 т.]

a = \frac{s_2 - s_1}{t^2} = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}.

[1 т.]

Изминатото разстояние през третия интервал $t = 4\ \mathrm{s}$ става с начална скорост

u = V_0 + 2at,

[0,5 т.]

като изминатото разстояние е

s_3 = ut + \frac{at^2}{2} = V_0 t + \frac{5at^2}{2} = 104\ \mathrm{m}.

[1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2014_8problems.pdf · официални решения: esenni_2014_8solutions.pdf