Съдържание

НЕСФ 2014, 11–12 клас — Задача 3. Спектрометър с дифракционна решетка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 11.-12. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Принципната схема на спектрометър, съдържащ входен процеп ВП, две вдлъбнати сферични огледала О1 и О2, отражателна дифракционна решетка ДР и CCD детектор, е дадена на фигурата по-долу.

Елементите в схемата имат следните характеристики: фокусните разстояния на двете огледала са равни: $f = 25$ cm. Входния процеп ВП и CCD детекторът са разположени във фокалните равнини (равнините, перпендикулярни на оптичните оси и минаващи през техните фокуси) съответно на огледалата О1 и О2. Дифракционната решетка има 1200 отразяващи ивици на милиметър (решетката работи на отражение). Ивиците са вертикални спрямо равнината на чертежа. Падащият сноп светлина върху решетката ДР пада перпендикулярно на нея. CCD детекторът има 1000 пиксела в равнината на чертежа и дължина L = 2,5 cm. Входният процеп се осветява от светлина, излъчвана от натриева лампа, чийто спектър съдържа две близки по дължина на вълната и еднакво интензивни спектрални линии с дължини на вълната съответно $\lambda_1 = 589{,}00$ nm и $\lambda_2 = 589{,}59$ nm. По-нататък извършвайте изчисленията приближено, като представяте отговорите с две-три значещи цифри. Размерите на О1, О2 и ДР са около 5 cm (те не ви трябват за по-нататъшните изчисления!).

Полезна математика:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - (\tan\alpha)^2}$

$\sin\alpha \approx \alpha$ ; $\alpha \ll 1$

$\cos\alpha \approx 1$ ; $\alpha \ll 1$ , ако $\alpha$ се измерва в радиани

Схема на спектрометър: входен процеп ВП, вдлъбнато сферично огледало О1, отражателна дифракционна решетка ДР, вдлъбнато сферично огледало О2 и CCD детектор. Светлината от ВП пада върху О1, отразява се към ДР, оттам към О2 и се фокусира върху CCD. — Принципна схема на спектрометъра с дифракционна решетка.

а) За какво служи огледалото О1? [0,5 т.]

б) За какво служи дифракционната решетка ДР? [0,5 т.]

в) За какво служи огледалото О2? [0,5 т.]

г) Изчислете константата d на решетката ДР. [0,5 т.]

д) Какъв е порядъкът на дифрактиралата от ДР светлина? [1 т.]

е) Изчислете ъгъла $\alpha$ между падащия върху ДР сноп и дифрактиралия от ДР сноп. [1 т.]

ж) Какво ще е разстоянието x (в mm и в пиксели) между двете спектрални линии върху CCD детектора? Приемете, че двете линии са разположени в средата на CCD детектора. [3 т.]

з) Изчислете какъв е интервалът $(\lambda_{min}, \lambda_{max})$ от дължини на вълните на светлината, която може да се регистрира от CCD детектора при това положение на оптичните елементи на спектрометъра. [1 т.]

и) Какво трябва да може да се променя (движи) и как, за да може спектрометърът да регистрира светлина с други дължини на вълните? [0,5 т.]

к) Оценете колко може да е максималната ширина l на входния процеп ВП, така че двете спектрални линии все още да се виждат разделени (да не се слеят в една широка, „размазана“). [1 т.]

л) Защо все пак са дадени ориентировъчните размери на О1, О2 и ДР? [0,5 т.]

Отговори

а) Огледалото О1 създава успореден сноп, падащ върху дифракционната решетка.
б) Дифракционната решетка ДР разделя пространствено светлината на успоредни монохроматични снопове с различна дължина на вълната.
в) Огледалото О2 фокусира дифрактиралите снопове с различна дължина на вълната в различни точки върху CCD детектора.
г) $d = \frac{1}{1200}\ \mathrm{mm} = 833\ \mathrm{nm}$
д) $k = \frac{d\sin\alpha}{\lambda} < \frac{d}{\lambda} = \frac{833\ \mathrm{nm}}{589\ \mathrm{nm}} < 2 \Rightarrow k = 1$

Максимум от първи порядък.
е) $\sin\alpha = \frac{\lambda}{d} = \frac{589\ \mathrm{nm}}{833\ \mathrm{nm}} \approx 0{,}707 \Rightarrow \alpha \approx 45^{\circ}$
ж) $x = f\Delta\alpha = \frac{f\Delta\lambda}{d\cos\alpha} = 0{,}25\ \mathrm{mm}$

Един пиксел има размер 2,5 cm/1000 = 0,025 mm, така че x е 10 пиксела.
з) $\lambda_{max} - \lambda_{min} = d\cos\alpha\frac{L}{f} \approx 59\ \mathrm{nm};\qquad (\lambda_{min}, \lambda_{max}) = (560\ \mathrm{nm},\ 619\ \mathrm{nm})$

При дължина на вълната в средата на CCD от 589,3 nm.
и) Технически най-лесно е да се върти дифракционната решетка около вертикална ос. (Отговор „Да се върти огледалото О2“ – 0.3 т.; отговор „Да се мести CCD детекторът перпендикулярно на падащия сноп“ – 0.2 т.)
к) $l \approx 0.125\ \mathrm{mm}$
л) Защото при много малки размери на тези елементи ще се появят допълнителни дифракционни ефекти от крайните размери на сноповете и по-ниска разделителна способност на решетката (заради по-малкия брой отразяващи ивици), което ще уширява спектралните линии; при дадените размери тези ефекти са достатъчно малки.

Решение

а) Огледалото О1 създава успореден сноп, падащ върху дифракционната решетка. [0.5 т.]

б) Дифракционната решетка ДР разделя пространствено светлината на успоредни монохроматични снопове с различна дължина на вълната. [0.5 т.]

в) Огледалото О2 фокусира дифрактиралите снопове с различна дължина на вълната в различни точки върху CCD детектора. [0.5 т.]

г) Константата d на решетката ДР е $d = \frac{1}{1200}$ mm $= 833$ nm. [0.5 т.]

д) От формулата за дифракционна решетка $d\sin\alpha = k\lambda$ [0.25 т.] следва, че $k = \frac{d\sin\alpha}{\lambda} < \frac{d}{\lambda} = \frac{833\ \mathrm{nm}}{589\ \mathrm{nm}} < 2$ . Следователно k = 1 и дифрактиралият сноп е максимум от първи порядък. [0.75 т.]

е) От по-горната формула $\sin\alpha = \frac{\lambda}{d} = \frac{589\ nm}{833\ nm} \approx 0{,}707$ , откъдето $\alpha \approx 45^{\circ}$ . [1 т.]

ж) Първо оценяваме ъгъла $\Delta\alpha$ между двата снопа с дължини на вълните $\lambda$ и $\lambda + \Delta\lambda$ . Прилагайки два пъти формулата за дифракционна решетка $d\sin\alpha = k\lambda$ , $d\sin(\alpha + \Delta\alpha) = k(\lambda + \Delta\lambda)$ или $d\sin\alpha\cos(\Delta\alpha) + d\cos\alpha\sin(\Delta\alpha) \approx d\sin\alpha + d\cos\alpha.\Delta\alpha \approx k(\lambda + \Delta\lambda)$ , се получава $\Delta\alpha = \frac{\Delta\lambda}{d\cos\alpha}$ [1.5 т.]. Разстоянието x между двете спектрални линии върху CCD детектора ще бъде $x = f\Delta\alpha = \frac{f\Delta\lambda}{d\cos\alpha} = 0{,}25$ mm. [1 т.] Тъй като един пиксел има размер 2,5 cm/1000 = 0,025 mm, то разстоянието x е 10 пиксела. [0.5 т.]

з) От предното подусловие $\lambda_{max} - \lambda_{min} = d\cos\alpha\frac{L}{f} =$ [0.5 т.] $= 833\,\mathrm{nm}.\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{2{,}5\,\mathrm{cm}}{25\,\mathrm{cm}} \approx 59$ nm. При дължина на вълната в средата на CCD от 589,3 nm, интервалът $(\lambda_{min}, \lambda_{max}) = (560\ \mathrm{nm}, 619\ \mathrm{nm})$ . [0.5 т.]

и) За да може спектрометърът да регистрира светлина с други дължини на вълните, технически най-лесно е да се върти дифракционната решетка около вертикална ос. [0.5 т.]

При отговор „Да се върти огледалото О2“ - [0.3 т.]

При отговор „Да се мести CCD детекторът перпендикулярно на падащия сноп“ - [0.2 т.]

к) Сноп монохроматична светлина ще се фокусира в точка върху CCD детектора само при безкрайно тесен входен процеп ВП. При ширина l на входния процеп ВП, всяка от спектралните линии също ще има ширина l върху детектора. [0.5 т.] Следователно, ако l = 0.25 mm, двете линии ще се слеят. Може да се очаква, че при два пъти по-малка ширина $l \approx 0.125$ mm двете спектрални линии ще се виждат разделени. [0.5 т.]

л) Ориентировъчните размери на О1, О2 и ДР са дадени, защото вероятно ако тези елементи са много малки, това ще предизвика допълнителни дифракционни ефекти от крайните размери на сноповете и по-ниска разделителна способност на дифракционната решетка (заради по-малкия брой отразяващи ивици), което ще предизвика допълнително уширение на спектралните линии. Вероятно при тези размери тези дифракционни ефекти са достатъчно малки. [0.5 т.]

Схема на спектрометър: ВП, О1, ДР, О2 и CCD детектор. — Същата принципна схема на спектрометъра, повторена в решенията.

Оригинал в Архива: esenni_2014_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2014_11-12solutions.pdf