НЕСФ 2014, Специална тема — Задача 1. Механика на тежък шнур

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 7–9 ноември 2014 г. — Специална тема · 7 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Основни константи

• земно ускорение, $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$;
• универсална газова константа, $R = 8.314\ \mathrm{J/(mol{\cdot}K)}$;
• константа на Болцман, $k_\mathrm{B} = 1.381{\times}10^{-23}\ \mathrm{J/K}$;
• скорост на светлината, $c = 3.00{\times}10^{8}\ \mathrm{m/s}$;

Задачата се състои от три независими подусловия, в които се разглеждат различни случаи на равновесие и движение на еднороден, тежък и неразтеглив шнур. Масата на шнура е $m$, а дължината му е $\ell$. Шнурът е идеално гъвкав, т.е. за огъването му не е нужна сила. Земното ускорение е $g$.

А) Шнурът е поставен симетрично върху две допиращи се равнини, наклонени под еднакви ъгли $\alpha$ спрямо хоризонта, както е показано на фигурата. Коефициентът на триене между шнура и равнините е $\mu$ ($\mu > \tan\alpha$).

Намерете отношението $k = \ell_1/\ell$, където $\ell_1$ е максималната възможна дължина на свободновисящата част от шнура, когато той е в равновесие. [3 т.]

Б) Половината от шнура се намира върху хоризонтална гладка маса (без триене), а другата му половина виси от ръба на масата, както е показано на фигурата. Шнурът е пуснат да се свлича от масата с нулева начална скорост. При това дължината $x$ на висящата му част се изменя с времето по закона:

$x = A\cosh(kt)\,.$

Намерете неизвестните константи $A$ и $k$. За колко време $\tau$ шнурът ще падне от масата?

Упътване. Можете да използвате математическото приложение на последната страница. [4 т.]

В) Шнурът е окачен в единия си край, като другият му край виси свободно. В това положение шнурът може да извършва под действие на собствената си тежест различни хармонични трептения, част от които са показани на фигурата. Съответните им кръгови честоти $\omega_i$ са дадени в таблицата по-долу. Обърнете внимание, че подобно на трептяща струна, по дължината на шнура има точки, които не трептят в напречно направление – т.нар. възли.

№	$\omega$
1	$1.202\sqrt{g/\ell}$
2	$2.760\sqrt{g/\ell}$
3	$4.327\sqrt{g/\ell}$

В1 Предложете опростен модел, чрез който да оцените кръговата честота $\omega_1$ на първото (най-нискочестотно) трептене на шнура с относителна грешка, по-малка от 5%. [1,5 т.]

В2 Като използвате данните от таблицата, намерете разстоянията $x_2$ и $x_3$ между точката на окачване и първия възел за трептенията 2 и 3 съответно (вж. фигурата). Приемете, че трептенията са с амплитуди, много по-малки от дължината на шнура. [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2014_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2014_STsolutions.pdf