НЕСФ 2014, Специална тема — Задача 3. Радар

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 7–9 ноември 2014 г. — Специална тема · 7 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Радар се състои от малки по размер източник И и приемник П на микровълнови импулси, разположени във фокуса на идеално отразяваща параболична антена с диаметър на изходния отвор $D = 2$ (вж. фигурата). Източникът излъчва микровълнови импулси с дължина на вълната $\lambda = 5\ \mathrm{cm}$, продължителност $\tau = 1\ \mathrm{\mu s}$ и мощност $P_0 = 100\ \mathrm{kW}$. Докато трае излъчването на даден импулс, приемникът е изключен. След това той се включва и регистрира импулсите, отразени от обект, намиращ се на разстояние $R$ от радара ($R \gg D$).

А) Пресметнете минималното растояние $R_{\min}$, на което радарът може да регистрира обекта. [1 т.]

Б) Радарът се характеризира с величината яркост, която се дефинира като:

$B = P\big/\Omega\,,$

където $P$ е мощността на импулсите, а $\Omega$ е пространственият ъгъл, в който е съсредоточено излъчването на радара (виж математическото приложение). Получете израз и оценете числено максималната теоретично достижима яркост на радара. [2,5 т.]

В) Обектът е идеално отразяваща метална сфера с радиус $a$ ($\lambda \ll a \ll R$). Получете израз за мощността $P_\mathrm{r}$ на отразената от сферата вълна. Определете пространствения ъгъл $\Omega_\mathrm{r}$, в който се разпространява отразената вълна. [2 т.]

Г) Получете израз за мощността $P_\mathrm{d}$ на вълната, която се фокусира върху приемника П. [2 т.]

Д) За да регистрира приемникът отразената вълна, е нужно енергията, която той поглъща от вълната, да бъде по-голяма от средната енергия на топлинно движение на токовите носители в регистриращата електронна верига. Определете максималното разстояние $R_{\max}$, на което радарът може да регистрира метална сфера с радиус $a = 1\ \mathrm{m}$. Температурата на елементите от електронната верига на приемника е $T = 300\ \mathrm{K}$. [2,5 т.]

Математическо приложение 1) Функциите хиперболичен косинус ($\cosh$) и хиперболичен синус ($\sinh$) се дефинират с равенствата:

$\cosh x = \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2} \qquad \text{и} \qquad \sinh x = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\,,$

и удоволетворяват следните тъждества:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,; \qquad \bigl(\cosh x\bigr)' = \sinh x\,; \qquad \bigl(\sinh x\bigr)' = \cosh x\,.$

2) Пространствен ъгъл $\Omega$ е част от пространството, ограничена от сноп лъчи – образуващи на ъгъла, излизащи от обща точка $O$ – връх на ъгъла. Ако разгледаме мислена сфера с радиус $R$ и център в т. $O$, големината на пространствения ъгъл се дава с формулата:

$\Omega = S/R^2\,,$

където $S$ е площта на сферичния сегмент, ограничен от лъчите. Пространственият ъгъл се измерва в стерадиани (strad). Пространственият ъгъл, съответстващ на конус с ъгъл $\theta$ между образуващата и оста на конуса, се дава с израза:

$\Omega = 4\pi\sin^2\bigl(\theta/2\bigr)\,.$

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2014_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2014_STsolutions.pdf