Съдържание

НЕСФ 2015, 10. клас — Задача 1. Пружинно махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, тема за 10. клас · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

На неразтегната вертикална пружина с коефициент на еластичност $k = 50\ \mathrm{N/m}$ се окачва без начална скорост тяло с маса $m = 500\ \mathrm{g}$ . Вертикалното пружинно махало започва да трепти.

Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Определете честотата $\nu_1$ , периода $T_1$ и амплитудата $A_1$ на трептене на махалото; [3 т.]

б) Пресметнете поотделно работата $W_1$ и $W_2$ , която съответно извършват силата на тежестта $G$ и еластичната сила $F$ на пружината, при движение на тялото от най-ниското до най-високото му вертикално положение. [2 т.]

в) След извършването на няколко пълни трептения в момент, когато тялото е в най-ниското си положение, от него се отлепва парче с маса $m/2$ . Намерете:

честотата $\nu_2$ , периодът $T_2$ и амплитудата $A_2$ на трептене на махалото от този момент нататък; [3 т.]

г) ускорението $a$ на тялото, окачено на пружината, непосредствено след отлепване на парчето; [1 т.]

д) максималната височина $h$ на издигане на тялото над положението му в момента на окачване. [1 т.]

Отговори

Решение

а) Честотата на трептене $\nu_1$ и периодът $T_1$ се определят с изразите

\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \approx 1{,}6\ \mathrm{Hz}\ \text{[1 т.]}\qquad T_1 = \frac{1}{\nu_1} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 0{,}63\ \mathrm{s}.\ \text{[1 т.]}

Началното положение на махалото съответства на максимално отклонение от равновесното му положение. Тогава амплитудата $A_1$ е равна на удължението $\Delta l_1$ на пружината в равновесие, като имаме

A_1 = \Delta l_1 = \frac{mg}{k} = 0{,}1\ \mathrm{m}. \qquad \text{[1 т.]}

б) При движение на тялото от най-ниско до най-високо вертикално положение силата на тежестта е насочена противоположно на преместването. Тъй като тя е постоянна, работата $W_1$ е

W_1 = -G.2A_1 = -2mgA_1 = -1\ \mathrm{J}. \qquad \text{[1 т.]}

Работата $W_2$ на еластичната сила може да се оцени чрез изменението на потенциалната енергия $E_p$ на деформираната пружина при движение от най-ниското положение 1 до най-високото ѝ положение 2, при което имаме

W_2 = E_p(1) - E_p(2) = \frac{k(2A_1)^2}{2} - 0 = 2kA_1^2 = 1\ \mathrm{J}. \qquad \text{[1 т.]}

в) В този случай имаме

\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} \approx 2{,}2\ \mathrm{Hz}\ \text{[1 т.]}\qquad T_2 = \frac{1}{\nu_2} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} \approx 0{,}45\ \mathrm{s}.\ \text{[1 т.]}

Тъй като равновесното положение на махалото се е отместило нагоре с $\Delta l_2 = mg/2k$ , за амплитудата на трептене получаваме

A_2 = A_1 + \Delta l_2 = \frac{3mg}{2k} = 0{,}15\ \mathrm{m}. \qquad \text{[1 т.]}

г) От втория закон на Нютон за ускорението намираме

a = \frac{kA_2}{m/2} = 3g \approx 30\ \mathrm{m/s^2}. \qquad \text{[1 т.]}

д) Търсената височина се дава с израза

h = A_2 - \frac{A_1}{2} = \frac{mg}{k} = 0{,}1\ \mathrm{m}. \qquad \text{[1 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2015_10problems.pdf · официални решения: esenni_2015_10solutions.pdf