Съдържание

НЕСФ 2015, 10. клас — Задача 3. Зареждане на кондензатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, тема за 10. клас · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Кондензатор с капацитет $C$ се зарежда от източник с ЕДН $U_0$ през резистор със съпротивление $R$ (фиг. 2). Преди затварянето на ключа кондензаторът е незареден. Приемаме, че вътрешното съпротивление на източника е пренебрежимо.

Проста верига: кондензатор C, ключ K, резистор R и източник с ЕДН U0, свързани последователно в правоъгълен контур. — Фиг. 2

а) Намерете тока $I_0$ във веригата непосредствено след затваряне на ключа. [2 т.]

б) При зареждането на кондензатора токът $I$ във веригата се изменя с времето $t$ . Намерете връзка между изменението на заряда на кондензатора $\Delta q$ и изменението на тока $\Delta I$ във веригата. [1 т.]

в) За малък интервал от време $\Delta t$ токът $I$ във веригата може да се приеме за постоянен. Изразете $\Delta t$ чрез $\Delta I / I$ . [1,5 т.]

г) Пресметнете приблизително времето $t_{1/2}$ , за което токът във веригата намалява до $I_0/2$ , като приемете че токът във веригата може да се замени с постоянен, чиято стойност е равна на средната стойност на тока за този интервал

\bar{I} = \frac{1}{2}(I_{\min} + I_{\max}).

[3 т.]

д) Определете общото количество топлина $Q$ , което се отделя в резистора, докато продължава зареждането на кондензатора. [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) Във всеки момент $t$ след затваряне на ключа $K$ напрежението на кондензатора $U_C(t) = q(t)/C$ [0,25 т.] и напрежението между краищата на резистора $U_R(t) = I(t)R$ [0,25 т.] удовлетворяват равенството

U_0 = U_C(t) + U_R(t) = \frac{1}{C}q(t) + I(t)R. \qquad \text{[0,5 т.]}

Непосредствено след затваряне на ключа $K$ имаме $U_C = 0$ [0,5 т.] и следователно токът е

I_0 = \frac{U_0}{R}. \qquad \text{[0,5 т.]}

б) От връзката между напреженията можем да получим съотношение между изменението на заряда $\Delta q$ на кондензатора и изменението на тока $\Delta I$ през резистора за време $\Delta t$ , т.е.

\frac{1}{C}\Delta q + R\Delta I = 0. \qquad \text{[1 т.]}

в) Тъй като $\Delta q \approx I\Delta t$ [0,5 т.], имаме равенството

\Delta t = -RC\,\frac{\Delta I}{I}. \qquad \text{[1 т.]}

г) Нека приемем, че $\Delta t = t_{1/2}$ . Тъй като

\Delta I = \frac{I_0}{2} - I_0 = -\frac{I_0}{2},\ \text{[1 т.]}\qquad I \approx \bar{I} = \frac{1}{2}\left(I_0 + \frac{I_0}{2}\right) = \frac{3I_0}{4},\ \text{[1 т.]}

получаваме $t_{1/2} \approx \dfrac{2}{3}RC \approx 0{,}67RC$ . [1 т.]

д) Докато продължава зареждането на кондензатора, през източника преминава заряд $q = CU_0$ [0,5 т.], т.е. източникът извършва работа $A = qU_0$ [0,5 т.]. Част от тази работа отива за зареждането на кондензатора, а останалата част се трансформира в топлина, отделена от резистора, като е изпълнено равенството

qU_0 = \frac{1}{2}CU_0^2 + Q. \qquad \text{[1 т.]}

Следователно имаме

Q = \frac{CU_0^2}{2}. \qquad \text{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2015_10problems.pdf · официални решения: esenni_2015_10solutions.pdf