НЕСФ 2015, 11–12 клас — Задача 2. Заредено махало

• а) $G = mg,\quad F_E = \frac{kq^2}{4d^2} = \frac{4kq^2}{9\ell^2},\quad T = (G+F_E)\cos\alpha_0 = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{4kq^2}{9\ell^2}\right)$

  Сила на тежестта $G$ и електростатична сила $F_E$ са вертикално надолу, силата на опън $T$ е по посока на нишката.

• б) $T = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{4kq^2}{9\ell^2}\right),\qquad T' = 2mg + \frac{16kq^2}{3\ell^2}$

• в) $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell} + \frac{4kq^2}{m\ell^3}} \approx 0{,}77\ \mathrm{Hz}$

а) Схемата с посоките на всички сили, които действат върху топчето, е изобразена на фиг. 2. [0,5 т.] Вертикално надолу действа силата на тежестта с големина $G = mg$. В същата посока е ориентирана и електростатичната сила, с която си взаимодействат топчето и заземената равнина. Топчето индуцира заряди по повърхността на равнината, които създават поле, еквивалентно на полето на точков заряд, разположен симетрично на топчето спрямо равнината и с противоположен знак, т.е. $F_E = \frac{kq^2}{4d^2} = \frac{4kq^2}{9\ell^2}$. [1 т.] Също така действа сила на опън по посока на нишката, с големина $T = (G + F_E)\cos\alpha_0 = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{4kq^2}{9\ell^2}\right)$. [0,5 т.]

б) В първоначалния момент големината на силата, която е приложена в точката на окачване на нишката, е отново равна на $T = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{4kq^2}{9\ell^2}\right)$, [0,5 т.] тъй като нишката е безмасова. Когато топчето е в най-долно положение, трябва да анализираме неговата динамика по вертикално направление. Топчето се движи по окръжност, така че сумарната сила, която му действа, трябва да е равна на $ma_{\mathrm{n}}$, където $a_{\mathrm{n}} = \frac{v^2}{\ell}$ е центростремителното ускорение ($v$ е скоростта на топчето). [0,5 т.] Така за големината на силата на опън на нишката се получава: $T' = G + F_E' + ma_{\mathrm{n}}$, [0,5 т.] като големината на електростатичната сила $F_E' = \frac{4kq^2}{\ell^2}$. [0,5 т.] За да намерим скоростта на топчето в най-долно положение, ще използваме закона за запазване на енергията. Като се има предвид, че силата на опън не извършва работа върху топчето, получаваме $v = \sqrt{g\ell + \frac{4kq^2}{3m\ell}}$. [1 т.] Големината на центростремителното ускорение е $a_{\mathrm{n}} = g + \frac{4kq^2}{3m\ell^2}$. [0,5 т.] Окончателно получаваме, че $T' = 2mg + \frac{16kq^2}{3\ell^2}$. [0,5 т.]

в) Резултантната сила, която действа върху топчето при движението му, е тангенциална на траекторията му и има квазиеластичен характер. [0,5 т.] Нейната големина е $F \approx -mg\sin\alpha - \frac{kq^2}{(2d+\ell-2\ell\cos\alpha)^2}\sin\alpha$. [1 т.] Като се използват свойствата на тригонометричните функции за малки ъгли, се получава $F \approx -\left(mg + \frac{4kq^2}{\ell^2}\right)\sin\alpha$. [1 т.] Големината на силата може да се представи по следния начин: $F \approx -\left(\frac{mg}{\ell} + \frac{4kq^2}{\ell^3}\right)x$, [0,5 т.] където $x$ е перпендикулярното отклонение на топчето от вертикалата, минаваща през точката на окачване на нишката. За честотата се получава $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell} + \frac{4kq^2}{m\ell^3}} \approx 0{,}77\ \mathrm{Hz}$. [1 т.]