Съдържание

НЕСФ 2015, 11–12 клас — Задача 3. Движеща се дифракционна решетка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, Тема за 11–12. клас · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Екран Е и дифракционна решетка ДР върху хоризонтална повърхност; решетката се движи със скорост v надясно, лазерният лъч пада отдясно. — Фиг. 3а. Дифракционната решетка (ДР) се хлъзга със скорост $v$ по хоризонтална повърхност пред неподвижния екран (Е).

Наклонена равнина с ъгъл α спрямо хоризонта; върху нея са екранът Е и дифракционната решетка ДР, която се плъзга надолу; означени са земното ускорение g и коефициентът на триене k. — Фиг. 3б. Екранът и решетката върху наклонена равнина с ъгъл $\alpha$ и коефициент на триене $k$ .

Дадена е дифракционна решетка, която има 500 ивици на милиметър. Първоначално дифракционната решетка (ДР) е на разстояние $l_0 = 10\ \mathrm{cm}$ от неподвижно закрепен екран (Е) и е оставена да се хлъзга със скорост $v$ върху идеално гладка хоризонтална повърхност, както е показано на фиг. 3а. Дифракционната решетка се осветява перпендикулярно с тънък лазерен лъч с дължина на вълната $\lambda = 532\ \mathrm{nm}$ .

а) Определете константата $d$ на решетката. [1 т.]

б) Кой е максималният порядък на максимумите, които могат да се наблюдават? Приемете, че екранът е с произволно големи размери. [1,5 т.]

в) На колко трябва да бъде равна скоростта $v$ , така че скоростта, с която се премества върху екрана дифракционният максимум от първи порядък, да е $u = 1\ \mathrm{cm/s}$ ? [2,5 т.]

г) Нека решетката се движи с намерената в предишната подточка скорост $v$ . Намерете за какво време $t$ от началото на движението максимумът от втори порядък ще се премести до първоначалното положение на максимума от трети порядък. [2 т.]

д) Екранът и дифракционната решетка са поставени върху наклонена равнина с ъгъл спрямо хоризонта $\alpha = 30^\circ$ , както е показано на фиг. 3б. Като използвате, че земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ , а коефициентът на триене между поставката на дифракционната решетка и равнината е $k = 0{,}1$ , намерете големината на ускорението $a$ , с което ще се движи върху екрана вторият дифракционен максимум. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Константата на решетката е $d = \frac{1}{500}\ \mathrm{mm} = 2\ \mathrm{\mu m}$ . [1 т.]

б) От формулата за дифракционна решетка $d\sin\theta = m\lambda$ [0,5 т.] следва, че $m = \frac{d\sin\theta}{\lambda} \le \frac{d}{\lambda} \approx 3{,}8$ , [0,5 т.] т.е. максималният порядък е трети. [0,5 т.]

в) От формулата за дифракционна решетка следва, че $\frac{xd}{\sqrt{x^2+l^2}} = m\lambda$ , [0,5 т.] където $x$ е разстоянието между нулевия и $m$ -тия максимум върху екрана, а $l$ е разстоянието между екрана и дифракционната решетка. Получава се, че $x = \frac{m\lambda l}{\sqrt{d^2-m^2\lambda^2}} = \frac{m\lambda(l_0+vt)}{\sqrt{d^2-m^2\lambda^2}}$ , [1 т.] откъдето за първия максимум следва, че $u = \frac{\lambda v}{\sqrt{d^2-\lambda^2}}$ и $v = \frac{u\sqrt{d^2-\lambda^2}}{\lambda} \approx 3{,}6\ \mathrm{cm/s}$ . [1 т.]

г) Времето $t = \left(\frac{3\lambda l_0}{\sqrt{d^2-9\lambda^2}} - \frac{2\lambda l_0}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}}\right)\Big/\frac{2\lambda v}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}} = \left(\frac{3\lambda l_0}{\sqrt{d^2-9\lambda^2}} - \frac{2\lambda l_0}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}}\right)\Big/\frac{2u\sqrt{d^2-\lambda^2}}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}} \approx 2{,}96\ \mathrm{s}$ . [2 т.]

д) Разстоянието между втория и нулевия максимум е $x_2 = \frac{2\lambda l}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}}$ . [0,5 т.] По посока на движението на дифракционната решетка действа проекция на силата на тежестта с големина $mg\sin\alpha$ , [0,5 т.] а в противоположната посока действа сила на триене с големина $kmg\cos\alpha$ , [0,5 т.] където $m$ е масата на решетката. Движението е равноускорително надолу по равнината с ускорение $g(\sin\alpha - k\cos\alpha)$ . [0,5 т.] Така се получава $a = \frac{2\lambda g(\sin\alpha - k\cos\alpha)}{\sqrt{d^2-4\lambda^2}} \approx 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2015_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2015_11-12solutions.pdf