НЕСФ 2015, 7. клас — Задача 2. Хубав шоколадов крем

а) При различни съотношения на шоколада и сметаната, се получават кремове с различна плътност. Тъй като шоколадът е по-плътен от сметаната, то колкото повече шоколад има в крема, толкова по-плътен е той.

В крем с 20% обемно съдържание на шоколад има 80% обемно съдържание на сметана. Това е най-малко плътният хубав крем (за краткост ще го наричаме „лек“).

В крем с 40% обемно съдържание на сметана има 60% обемно съдържание на шоколад. Това е най-плътният хубав крем (за краткост ще го наричаме „плътен“).

Масата на стандартна порция „лек“ крем е $m_{\text{лек}} = 0{,}2V_0\rho_{\text{шок}} + 0{,}8V_0\rho_{\text{сме}} = 128\ \mathrm{g}$. [1 т]

Маса на стандартна порция „плътен“ крем $m_{\text{плътен}} = 0{,}6V_0\rho_{\text{шок}} + 0{,}4V_0\rho_{\text{сме}} = 184\ \mathrm{g}$. [1 т]

Масата на всяка стандартна порция хубав крем, който е получен при друго съотношение на продуктите, лежи между $m_{\text{лек}}$ и $m_{\text{плътен}}$. Следователно, порция с маса 180 g е хубав крем, но порция с маса 120 g – не е. [2 т]

б) Масата на крема е сума от масите на шоколада и сметаната, т.е. $m = m_{\text{шок}} + m_{\text{сме}}$. Нека двата продукта са в обемно съотношение $x : y$, като $x + y = 1$.

За определеност: $x$ части шоколад и $y$ части сметана.

Изпълнени са следните равенства: $m = xV_0\rho_{\text{шок}} + yV_0\rho_{\text{сме}}$ и $x + y = 1$. От второто равенство заместваме $y = 1 - x$ в първото и получаваме уравнение относно $x$: $m = xV_0\rho_{\text{шок}} + \left(1-x\right)V_0\rho_{\text{сме}}$. Така намираме обемното съдържание на шоколада $x = \dfrac{m - V_0\rho_{\text{сме}}}{V_0\left(\rho_{\text{шок}} - \rho_{\text{сме}}\right)} = 0{,}5$. [3 т]

Масата на шоколада в тази порция крем е $m_{\text{шок}} = 0{,}5V_0\rho_{\text{шок}} = 120\ \mathrm{g}$, а на сметаната е $m_{\text{сме}} = m - m_{\text{шок}} = 50\ \mathrm{g}$. [1 т]

в) При фиксирана маса, най-обемната порция дава кремът с най-малка плътност, т.е. Реми трябва да предложи „лек“ крем.

Използвайки резултата от подусловие (а), намираме плътността на „лек“ крем $\rho_{\text{лек}} = \dfrac{m_{\text{лек}}}{V_0} = 0{,}2\rho_{\text{шок}} + 0{,}8\rho_{\text{сме}} = 0{,}64\ \mathrm{g/cm^3}$. [1 т]

Тогава обемът на порция „лек“ крем с маса $m_{\text{специална}} = 50\ \mathrm{g}$ е $V_{\text{специална}} = \dfrac{m_{\text{специална}}}{\rho_{\text{лек}}} \approx 78\ \mathrm{cm^3}$ (или $80\ \mathrm{cm^3}$). [1 т]