НЕСФ 2015, 9. клас — Задача 1. Кинематика

Част 1:

а) За една минута ($T = 60\ \mathrm{s}$) всяка кола, движеща се със скорост $v_0$, изминава разстояние $N_0(L + L_0)$, измерено спрямо неподвижния полицай. Така получаваме $N_0(L + L_0) = v_0T$ [1 т]. Когато полицаят се движи със скорост $v$, получаваме $N_1(L + L_0) = (v_0 - v)T$ [1 т]. Разделяме едното уравнение на другото и намираме $\dfrac{v}{v_0} = 1 - \dfrac{N_1}{N_0}$, т.е. $v_0 = 10v = 50\ \mathrm{km/h}$ [1 т].

б) От уравнението $N_0(L + L_0) = v_0T$ [1 т] намираме $L = \dfrac{v_0T}{N_0} - L_0$, т.е. $L \approx 80.3\ \mathrm{m}$ [1 т].

в) За броя на насрещно движещите се коли получаваме $N_2(L + L_0) = (v_0 + v)T$. Така намираме $\dfrac{N_2}{N_0} = \dfrac{v_0 + v}{v_0}$ и следователно $N_2 = 1.1N_0 = 11$ [1 т].

Част 2:

а) В момента $t$ височината на първата капка е $h_1 = H - \dfrac{gt^2}{2}$ [0.2 т], а на втората е $h_2 = H - \dfrac{g(t - \Delta t)^2}{2}$ [0.2 т]. Първата капка достига повърхността в момента $t_1$, за който е изпълнено $h_1 = H - \dfrac{gt_1^2}{2} = 0$ [0.1т]. Намираме $t_1 = \sqrt{2H/g}$. Аналогично намираме и момента $t_2$, в който втората капка достига повърхността: $t_2 = \sqrt{2H/g} + \Delta t$. Така получаваме $\Delta t^{\prime} = t_2 - t_1 = \Delta t$ [1 т].

б) Първата капка достига повърхността в момента $t_1$, за който $h_1 = H - \dfrac{gt_1^2}{2} = vt_1$ [0.25 т], а втората – в момента $t_2$, за който $h_2 = H - \dfrac{g(t_2 - \Delta t)^2}{2} = vt_2$ [0.25 т]. За $t_1$ и $t_2$ получихме квадратни уравнения, от които намираме $t_1 = \dfrac{-v + \sqrt{v^2 + 2gH}}{g}$ [0.5 т] и $t_2 = \Delta t + \dfrac{-v + \sqrt{v^2 + 2gH - 2gv\Delta t}}{g}$ [0.5 т]. Така получаваме $\Delta t^{\prime} = t_2 - t_1 = \Delta t + \dfrac{\sqrt{v^2 + 2gH - 2gv\Delta t} - \sqrt{v^2 + 2gH}}{g}$. [1 т]