НЕСФ 2015, 9. клас — Задача 2. Електростатика

а) Ако зарядът $q$ също е положителен, както и да поставим трите топчета, на крайните две ще действат сили, които ще ги отблъскват (отдалечават едно от друго). Следователно зарядът $q$ трябва да е отрицателен. [1т]

б) Отрицателният заряд $q$ не може да се постави в областите I или III, защото тогава другите два заряда ще го привличат и той не може да бъде в равновесие. [1т] Зарядът $q$ трябва да се постави в областта II, т.е. между положителните заряди $q_1$ и $q_2$, където те му действат със срещуположни сили, които би могло да се уравновесят. [1т]

в) На заряда $q$ действат две сили (вж. чертежа), чиито големини се определят от закона на Кулон: $F_1 = k\dfrac{q_1q}{x^2}$ и $F_2 = k\dfrac{q_2q}{(r-x)^2}$. [1т] За да бъде зарядът $q$ в равновесие, двете противоположни сили трябва да имат еднакви големини $k\dfrac{q_1q}{x^2} = k\dfrac{q_2q}{(r-x)^2}$, откъдето получаваме квадратно уравнение за $x$: $(q_1 - q_2)x^2 - 2q_1rx + q_1r^2 = 0$ [1т].

Уравнението има два корена, които се записват във вида $x_1 = \dfrac{r\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1} - \sqrt{q_2}}$ и $x_2 = \dfrac{r\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$ [1т]. За втория корен е изпълнено условието $x_2 < r$, т.е. зарядът $q$ да се намира между двата положителни заряда (в област II). Първият корен обаче не удовлетворява това условие. Действително, при $q_1 > q_2$ имаме $x_1 > r$, т.е. зарядът $q$ е в област III. При $q_1 < q_2$ имаме $x_1 < 0$, т.е. зарядът $q$ е в област I. Следователно търсеното разстояние е $x = x_2$ [1т].

г) Потенциалът на полето, създадено от двата заряда, е сума от потенциалите на полетата, породени от отделните заряди. Потенциалът от страна на $q_1$ е $\varphi_1 = k\dfrac{q_1}{x}$ [0.5т], а от страна на $q_2$ е $\varphi_2 = k\dfrac{q_2}{r-x}$ [0.5т]. Следователно $\varphi = k\dfrac{q_1}{x} + k\dfrac{q_2}{r-x}$ [1т], т.е. $\varphi = k\dfrac{\left(\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}\right)^2}{r}$ [1т].